29 – gleichmäßige Stetigkeit

 

Zeigen Sie, dass die Funktion

f:\left[ {0,\infty } \right[ \to \mathbb{R},f\left( x \right) = \sqrt x

gleichmäßig stetig ist.

(Hinweis: Zeigen Sie, dass für alle x, y ≥ 0 gilt:

\left| {\sqrt x -\sqrt y } \right| \leq \sqrt {\left| {x-y} \right|}

Lösung

Zunächst zur einfachen Stetigkeit.

Eine Funktion ist stetig im Punkt a, wenn gilt:

\lim \left( {f\left( {a_n } \right)} \right)_n  = f\left( a \right),\forall D \supset \left( {a_n } \right)_n  \to a (Folgenkriterium)

ODER

\forall \varepsilon  > 0\exists \delta  > 0:\left| {f\left( x \right)-f\left( a \right)} \right| < \varepsilon ,\forall \left| {x-a} \right| < \delta (Epsilon-Delta-Charakterisierung)

Für eine genauere Erklärung zum Thema Stetigkeit siehe Aufgabe 24.

gleichmäßige Stetigkeit

Eine Funktion ist gleichmäßig stetig, wenn gilt:

\forall \varepsilon  > 0\exists \delta  > 0:\left| {f\left( x \right)-f\left( y \right)} \right| < \varepsilon ,\forall x,y \in D:\left| {x-y} \right| < \delta

Auf den ersten Blick kann man nur sagen, dass dieses Zeichendurcheinander eine strengere Bedingung ist als die normale Stetigkeit, da sie länger ist :)
Mathematisch erklärt sich die zusätzliche Strenge dadurch, dass hier nicht zu jedem d auf der x-Achse ein eigenes e gesucht werden darf, sondern dass ein einziges e für die gesamte Funktion gelten muss. Am folgenden Beispiel soll dies verdeutlicht werden:

Wir betrachten die Funktion f(x) = 1/x

Da die Funktion symmetrisch ist, konzentrieren wir uns bei der Überprüfung auf gleichmäßige Stetigkeit auf den positiven Teil.

Wir legen den Wert für e auf 0,5 fest (laut Bedingung darf e jeden beliebigen positiven Wert annehmen). d sei 0,2 (auch ein beliebiger positiver Wert). Wir wollen nun die Bedingung für die gleichmäßige Stetigkeit an verschiedenen Stellen a prüfen.
Als erste Stelle untersuchen wir a = 2. Das Intervall [a-d , a+d] = [1,8 ; 2,2] (grün) wird von der Funktion auf die y-Achse abgebildet in das Intervall [0,45 ; 0,55] (ocker). Dieses liegt im Intervall [f(2)-e , f(2)+e] = [0 , 1] (blau). Die Bedingung ist also erfüllt.
Nun gehen wir auf der x-Achse weiter nach links zu a = 1. Das Intervall [a-d , a+d] = [0,8 ; 1,2] (grün) wird von der Funktion auf die y-Achse abgebildet in das Intervall [0,83 ; 1,25] (ocker). Dieses liegt im Intervall [f(1)-e , f(1)+e] = [0,5 ; 1,5] (blau). Die Bedingung ist also erfüllt, auch wenn das Intervall der Abbildung schon größer geworden ist.
Nun untersuchen wir die Stelle a = 0,5. Das Intervall [a-d , a+d] = [0,3 ; 0,7] (grün) wird von der Funktion auf die y-Achse abgebildet in das Intervall [1,43 ; 3,33] (ocker). Dieses liegt nicht im Intervall [f(0,5)-e , f(0,5)+e] = [1,5 , 2,5] (blau). Die Bedingung ist also nicht erfüllt.
Egal wie groß wir das e und wie klein das d gewählt hätten, bei der Verschiebung von a nach links wäre irgendwann immer ein abgebildetes Intervall entstanden, das größer als der geforderte Bereich ist.
Wir können daraus schließen, dass die Funktion 1/x nicht gleichmäßig stetig ist.

Eine andere Möglichkeit, dies schnell festzustellen, ist es, die y-Achse in gleiche Abschnitte zu unterteilen und zu betrachten, wie sich die zugehörigen Intervalle auf der x-Achse entwickeln:

In diesem Fall werden sie zur 0 hin sehr klein, woran man sehen kann, dass die Funktion nicht gleichmäßig stetig ist.

Folgerung:
Eine Funktion ist gleichmäßig stetig, wenn sie auf einem abgeschlossenen beschränkten Intervall stetig ist. Eine gleichmäßig stetige Funktion hat weiterhin die Eigenschaften, dass sie auf dem Intervall irgendwo ihr Supremum und Infimum annimmt und dass sie beschränkt ist.

Nun zur Aufgabenstellung

Hier ein Graph der Wurzelfunktion:

Jetzt prüfen wir die Funktion im Bezug auf die Bedingung

\forall \varepsilon  > 0\exists \delta  > 0:\left| {f\left( x \right)-f\left( y \right)} \right| < \varepsilon ,\forall x,y \in D:\left| {x-y} \right| < \delta

Fangen wir vorne an:

\forall \varepsilon  > 0

Dieses e lassen wir variabel, da wir ja allgemein zeigen wollen, dass die Funktion gleichmäßig stetig ist.

\exists \delta  > 0

Das d müssen wir in Abhängigkeit vom e festlegen. Um ein passendes d zu finden, betrachten wir die Steigung der Funktion bzw die Ableitung:

Es ist offensichtlich, dass die Steigung im Bereich zwischen 0 und 1 am größten ist. Wenn nun aber das von uns beliebig gelassene e kleiner als 1 ist, besteht die Gefahr, dass ein zu großes d zu einem abgebildeten Intervall führt, das nicht im geforderten Bereich liegt. Wir brauchen also ein d das für ein beliebig kleines e immer noch deutlich kleiner ist. Eine Möglichkeit für ein d, dass diese Anforderung erfüllt, ist:

\delta  = \varepsilon ^2

Weiter im Text:

\left| {f\left( x \right)-f\left( y \right)} \right| < \varepsilon ,\forall x,y \in D:\left| {x-y} \right| < \delta

Wir ersetzen hier das d durch unser e2 und sehen dann, was hier eigentlich gefordert wird:

\left| {f\left( x \right)-f\left( y \right)} \right| < \varepsilon ,\forall x,y \in D:\left| {x-y} \right| < \varepsilon ^2

Es soll nun geprüft werden, ob die folgende Gleichung gilt:

\left| {f\left( x \right)-f\left( y \right)} \right| < \varepsilon

unter der Voraussetzung:

\left| {x-y} \right| < \varepsilon ^2

\Rightarrow \sqrt {\left| {x-y} \right|}  < \varepsilon

Dies hätten wir gezeigt, wenn wir beweisen könnten, dass gilt:

\left| {f\left( x \right)-f\left( y \right)} \right| \leq \sqrt {\left| {x-y} \right|}

denn \sqrt {\left| {x-y} \right|} ist auf jeden Fall kleiner als e. Wenn \left| {f\left( x \right)-f\left( y \right)} \right| daher noch kleiner oder gleich groß ist, ist es auch kleiner als e.

Nun erklärt sich auch der auf den ersten Blick unverständliche Hinweis in der Aufgabenstellung, denn wenn wir für f(x) und f(y) die Funktionswerte einsetzen, erhalten wir:

\left| {\sqrt x -\sqrt y } \right| \leq \sqrt {\left| {x-y} \right|}

Dies zeigen wir im Folgenden:

y \geq x \geq 0 \left| {\sqrt {(...)} } \right.
\sqrt y  \geq \sqrt x \left| { \cdot \left( {-2\sqrt x } \right)} \right.
- 2\sqrt {y \cdot x}  \leq -2x \left| {+x+y} \right.
x-2\sqrt {y \cdot x} +y \leq x+y
\left( {\sqrt x -\sqrt y } \right)^2  \leq x+y \left| {\sqrt {(...)} } \right.
\left| {\sqrt x -\sqrt y } \right| \leq \sqrt {\left| {x+y} \right|}

q.e.d.