30 – Differenzierbarkeit von Funktionen

 

Sei g:\mathbb{R} \to \mathbb{R} eine beliebige beschränkte Funktion. Zeigen Sie, dass die Funktion f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} mit f\left( x \right) = x^2 \cdot g\left( x \right) im Punkt 0 differenzierbar mit f ^{\prime}\left( 0 \right) = 0 ist.

Lösung

Zunächst zur Differenzierbarkeit von Funktionen:

Eine Funktion ist differenzierbar, wenn der folgende Grenzwert existiert:

f ^{\prime}\left( a \right): = \lim \limits_{ x \to a } \frac{{f\left( x \right)-f\left( a \right)}} {{x-a}}

Der Grenzwert f’(a) wird auch als Differenzialquotient oder die Ableitung an der Stelle a bezeichnet.

Beispiel

Wir wollen untersuchen, ob die Funktion f(x) = x3 an der Stelle 0 differenzierbar ist. Hierzu betrachten wir den Grenzwert:

f ^{\prime}\left( 0 \right): = \lim \limits_{x \to 0} \frac{{f\left( 0 \right)-f\left( a \right)}} {{0-a}}

Der Funktionswert an der Stelle a=0 ist 0. Es ergibt sich:

f ^{\prime}\left( 0 \right) = \lim \limits_{x \to 0} \frac{{f\left( x \right)-f\left( 0 \right)}} {{x-0}}

f ^{\prime}\left( 0 \right) = \lim \limits_{x \to 0} \frac{{f\left( x \right)}} {x}

f ^{\prime}\left( 0 \right) = \lim \limits_{x \to 0} x^2 = 0

Der Grenzwert existiert also, die Funktion f(x) = x3 ist differenzierbar an der Stelle 0.

Weiteres Beispiel

Wir wollen untersuchen, ob die Funktion f(x) = |x| an der Stelle 0 differenzierbar ist. Hierzu betrachten wir den Grenzwert:

f ^{\prime}\left( a \right): = \lim \limits_{x \to a} \frac{{f\left( x \right)-f\left( a \right)}} {{x-a}}

f ^{\prime}\left( 0 \right) = \lim \limits_{x \to 0} \frac{{f\left( x \right)-f\left( 0 \right)}} {{x-0}}

f ^{\prime}\left( 0 \right) = \lim \limits_{x \to 0} \frac{{\left| x \right|}} {x}

Der Grenzwert des Quotienten aus Betrag von x und x hat die Lösungen 1 (x geht aus dem positiven Bereich gegen 0) und -1 (x geht aus dem negativen Bereich gegen 0). Der Grenzwert existiert also nicht. Die Funktion ist an der Stelle 0 nicht differenzierbar.

Nun zur Aufgabenstellung

Daraus, dass die Funktion g(x) beschränkt ist, folgt, dass ihr Betrag immer kleiner ist als eine unbekannte reelle Konstante C:

\left| {g\left( x \right)} \right| \leq C

Diese Bedingung werden wir später noch brauchen. Wir betrachten den Grenzwert:

f ^{\prime}\left( a \right): = \lim \limits_{x \to a} \frac{{f\left( x \right)-f\left( a \right)}} {{x-a}}

f ^{\prime}\left( 0 \right) = \lim \limits_{x \to 0} \frac{{f\left( x \right)-f\left( 0 \right)}} {{x-0}}

f ^{\prime}\left( 0 \right) = \lim \limits_{x \to 0} \frac{{x^2 \cdot g\left( x \right)-0^2 \cdot g\left( 0 \right)}} {x}

f ^{\prime}\left( 0 \right) = \lim \limits_{x \to 0} x \cdot g\left( x \right)

Hier ist nun wichtig, dass die Funktion g(x) beschränkt ist. Wenn sie unbeschränkt wäre, könnte sie eventuell verhindern, dass wenn x gegen 0 strebt, das Produkt 0 wird. Da der Betrag von g(x) aber immer kleiner als C ist, ist der Grenzwert 0:

\left| {x \cdot g\left( x \right)} \right| \leq \left| x \right| \cdot C

f ^{\prime}\left( 0 \right) = \lim \limits_{x \to 0} \left| x \right| \cdot C = 0

Die Funktion ist somit differenzierbar an der Stelle 0.

q.e.d.