31 – Stetigkeit und Differenzierbarkeit

 

Sei g:\mathbb{R} \to \mathbb{R} eine beschränkte Funktion, so dass für alle n \in \mathbb{N} gilt: g(2n) = 1 und g(2n+1) = -1. (Dies ist z.B. erfüllt für g(x) = cos(x · p).) Zeigen Sie, dass die Funktion

f\left( x \right): = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} x \cdot g\left( {\frac{1}{x}} \right) & \forall x \ne 0  \\ 0 & x = 0  \\  \end{array} } \right.

in 0 stetig, aber nicht differenzierbar ist.

Lösung

Hier zunächst ein Schaubild einer möglichen Funktion g(x):

Die Funktion nimmt an geraden Stellen (a = 2n) den Wert 1 an und an ungeraden Stellen (a = 2n+1) den Wert -1.
Kombiniert man diese Funktion mit dem äußeren Faktor x und dem inneren Faktor 1/x, so ändert sich der Graph wie folgt:

Die Extremstellen rutschen im Bereich nahe der 0 immer näher zusammen, die ganze Funktion ist zwischen die Winkelhalbierenden des Koordinatensystems gequetscht.

Wir überprüfen nun die Stetigkeit der Funktion an der Stelle 0. Hierzu betrachten wir den Grenzwert

\lim \limits_{a \to 0} \left( {f\left( {a_n } \right)} \right)_n

der Folge

\left( {a_n } \right)_n  \to 0

Die Funktionswerte der Folgeglieder sind, wie man an dem zweiten Graphen sehen kann, immer kleiner oder gleich |an| · C. Dies ist auch mathematisch begründbar. Die Funktion g(1/x) ist beschränkt und daher immer kleiner oder gleich ihrem Maximum bzw größer oder gleich ihrem Minimum. Wir definieren eine Konstante C, die kleiner oder gleich dem Betrag des Maximums und größer oder gleich dem Betrag des Minimums ist.
In anderen Worten: Der Betrag jedes Funktionswertes ist kleiner oder gleich C:

\left| {g\left( a \right)} \right| \leq C

Wir setzen nun a = 1/x und formen um:

x \cdot \left| {g\left( {\frac{1} {x}} \right)} \right| \leq \left| {x \cdot C} \right|

\left| {f\left( x \right)} \right| \leq \left| {x \cdot C} \right|

Daher gilt:

\left| {f\left( {a_n } \right)_n } \right| \leq \left| {a_n  \cdot C} \right|

Daraus folgt:

\lim \limits_{n \to \infty } \left( {f\left( {a_n } \right)} \right)_n  = 0 = \lim \limits_{n \to \infty } \left( {a_n } \right)_n

Die Funktion ist somit stetig.

Nun betrachten wir die Differenzierbarkeit an der Stelle 0.

Hierfür müssen wir prüfen, ob der folgende Grenzwert existiert:

f ^{\prime}\left( x \right): = \lim \limits_{x \to a} \frac{{f\left( x \right)-f\left( a \right)}} {{x-a}}

Wir setzen für x 0 ein:

f ^{\prime}\left( 0 \right) = \lim \limits_{x \to 0} \frac{{f\left( x \right)-f\left( 0 \right)}} {{x-0}}

f ^{\prime}\left( 0 \right) = \lim \limits_{x \to 0} \frac{{f\left( x \right)}} {x} = \lim \limits_{x \to 0} \frac{{x \cdot g\left( {\frac{1} {x}} \right)}} {x} = \lim \limits_{x \to 0} g\left( {\frac{1} {x}} \right)

Wenn hier x gegen 0 geht, werden die Funktionswerte für g(x) immer größer, sie gehen gegen unendlich. Da g(x) aber nicht konvergiert, sondern immer zwischen 1 und -1 pendelt, existiert dieser Grenzwert nicht.
Daher ist die Funktion in 0 nicht differenzierbar.