03.1 – Überlagerung von Bewegungen

wagen-statisch

Ein Wagen bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit v in x-Richtung. Auf dem Wagen wird zum Zeitpunkt t = 0 ein Körper der Masse m mit der Anfangsgeschwindigkeit v₁ senkrecht nach oben geschossen.

Welche Bahnkurve sieht ein außenstehender Beobachter?
Welche Bahnkurve sieht ein Beobachter auf dem Wagen?

Lösung

a )

Für ein außenstehenden Beobachter überlagern sich die vertikale und die horizontale Bewegung.

Aufstellen der Differentialgleichung der Bewegung mit dem Ansatz F=ma

$F = m \cdot a$

$F_x = 0$

$F_y = -m \cdot g$

$- m \cdot g = m \cdot a_y$

$\ddot y = -g$

$\ddot x = 0$

Jetzt werden die Differentialgleichungen gelöst und die Konstanten, die durch die Integration entstanden sind durch die Rahmenbedingungen bestimmt:

$\dot x = C_1$

$x = C_1 \cdot t+C_2$

$\dot y = -g \cdot t+C_3$

$y = -\frac{g} {2} \cdot t^2 +C_3 \cdot t+C_4$

Rahmenbedingungen:

$x\left( 0 \right) = 0\quad \Rightarrow \quad C_2 = 0$

$\dot x\left( 0 \right) = v_0 \quad \Rightarrow \quad C_1 = v_0$

$y\left( 0 \right) = 0\quad \Rightarrow \quad C_4 = 0$

$\dot y\left( 0 \right) = v_1 \quad \Rightarrow \quad C_3 = v_1$

$x\left( t \right) = v_0 \cdot t$

$y\left( t \right) = -\frac{g} {2} \cdot t^2 +v_1 \cdot t$

Umstellen der Gleichung x(t) nach t und einsetzen in die Gleichung y(t)

$x = v_0 \cdot t$

$t = \frac{x} {{v_0 }}$

$y\left( t \right) = -\frac{g} {2} \cdot t^2 +v_1 \cdot t$

$y\left( x \right) = -\frac{g} {2} \cdot \left( {\frac{x} {{v_0 }}} \right)^2 +v_1 \cdot \frac{x} {{v_0 }}$

Somit ergibt sich als Bahnkurve eine Parabel

b )

Neue Rahmenbedingungen für den veränderten Beobachter:

$x\left( 0 \right) = 0\quad \Rightarrow \quad C_2 = 0$

$\dot x\left( 0 \right) = 0\quad \Rightarrow \quad C_1 = 0$

$y\left( 0 \right) = 0\quad \Rightarrow \quad C_4 = 0$

$\dot y\left( 0 \right) = v_1 \quad \Rightarrow \quad C_3 = v_1$

$x\left( t \right) = 0$

$y\left( t \right) = -\frac{g} {2} \cdot t^2 +v_1 \cdot t$

Der Körper bewegt sich nur vertikal für den Beobachter. Dies kann nicht durch eine Bahnkurve dargestellt werden.

Animation zu den beiden Fällen:
Fall 1: Außenstehender Beobachter
Fall 2: Beobachter auf dem Wagen

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