32 – Differenzierbarkeit, Grenzwert der Ableitung

 

a
Zeigen Sie: Ist f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} in x_0  \in \mathbb{R} differenzierbar, so existiert

a: = \lim \limits_ {h \to 0} \frac{{f\left( {x_0 +h} \right)-f\left( {x_0 -h} \right)}} {{2h}}

und es gilt:

f ^{\prime}\left( {x_0 } \right) = a

b

Zeigen Sei an einem Beispiel, dass aus der Existenz des Grenzwertes aus (a) nicht auf die Differenzierbarkeit von f in x0 geschlossen werden kann.

Lösung

a )

Der gegebene Grenzwert soll hergeleitet werden. Wir beginnen mit dem aus der Definition der Differenzierbarkeit bekannten Grenzwert:

f ^{\prime}\left( a \right): = \lim \limits_{x \to a} \frac{{f\left( x \right)-f\left( a \right)}} {{x-a}}

Wir ersetzen nun das x durch a+h, also den Funktionswert a plus die kleine Differenz h.

f ^{\prime}\left( a \right) = \lim \limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {a+h} \right)-f\left( a \right)}} {{a+h-a}}

Nun ersetzen wir das a durch x0, da die Funktion an diesem Punkt differenzierbar sein soll:

f ^{\prime}\left( {x_0 } \right) = \lim \limits_{h \to 0}\frac{{f\left( {x_0 +h} \right)-f\left( {x_0 } \right)}} {h}

Wir können aber nicht nur von rechts (x0+h) an den Grenzwert heran, sondern auch von links. Wir ersetzen h durch -h. Der Grenzwert bleibt in diesem Fall gleich. Um die Terme später addieren zu können, bringen wir sie auf den gleichen Nenner h:

f ^{\prime}\left( {x_0 } \right) = \lim \limits_{h \to 0}\frac{{f\left( {x_0 +h} \right)-f\left( {x_0 } \right)}} {h} = \lim \limits_{h \to 0}\frac{{f\left( {x_0 -h} \right)-f\left( {x_0 } \right)}} {{-h}} = \lim \limits_{h \to 0}\frac{{f\left( {x_0 } \right)-f\left( {x_0 -h} \right)}} {h}

Wir addieren nun den ersten und den zweimal umgeformten Limes:

2 \cdot f ^{\prime}\left( {x_0 } \right) = \lim \limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {x_0 +h} \right)-f\left( {x_0 } \right)}} {h}+\lim \limits_{h \to 0}\frac{{f\left( {x_0 } \right)-f\left( {x_0 -h} \right)}} {h}

Die beiden Grenzwerte können zusammengefasst und vereinfacht werden:

2 \cdot f ^{\prime}\left( {x_0 } \right) = \lim \limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {x_0 +h} \right)-f\left( {x_0 } \right)+f\left( {x_0 } \right)-f\left( {x_0 -h} \right)}} {h}

2 \cdot f ^{\prime}\left( {x_0 } \right) = \lim \limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {x_0 +h} \right)-f\left( {x_0 -h} \right)}} {h}

f ^{\prime}\left( {x_0 } \right) = \lim \limits_{h \to 0}\frac{{f\left( {x_0 +h} \right)-f\left( {x_0 -h} \right)}} {{2h}}

q.e.d.

b )

Eine Funktion, die einen Grenzwert für eine nicht differenzierbare Stelle hat, ist die Betragsfunktion. Der Grenzewert ist, wenn man von der positiven Seite kommt = 1, aber wenn man von der negativen Seite kommt = -1. Daher ist die Funktion dort nicht differenzierbar.