03.2 – Gleiten auf einer Halbkugel

 

masse-gleitet-auf-halbkugel

Eine punktförmige Masse m gleitet reibungsfrei auf einer Halbkugel mit dem Radius r. Bei welchem Winkel φ springt die Masse von der Halbkugel ab, wenn ihre Anfangsgeschwindigkeit im höchsten Punkt vernachlässigbar ist?

Lösung

Es wirken die folgenden Kräfte:

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Gravitationskraft: FG = mg
Zentrifugalkraft: FZ = (mv2) / r

Aus der Gravitationskraft ergibt sich eine der Zentrifugalkraft entgegengerichtete Normalkraft:

{F_N} = {F_G}\cos \left( \phi  \right) = mg\cos \left( \phi  \right)

Die punktförmige Masse springt von der Halbkugel ab, wenn gilt: FZ = FN.

Die Formeln werden daher gleichgesetzt:

m \cdot \frac{{v^2 }} {r} = m \cdot g \cdot \cos \phi \quad |:m

\frac{{v^2 }} {r} = g \cdot \cos \phi \quad \Rightarrow \quad \left( {\frac{v} {r}} \right)^2 \cdot r = g \cdot \cos \phi

Wir nutzen nun den Energieerhaltungssatz:

E_{kin} +E_{pot} = const

\frac{{v^2 }} {r} = g \cdot \cos \phi

In diesem Fall können wir für den Moment, in dem die Masse von der Kugel abspringt die beiden Energien gleichsetzen, denn das was die Kugel an potentieller Energie verliert, gewinnt sie an kinetischer Energie:

E_{kin} = E_{pot} \quad \Rightarrow \quad \frac{m} {2} \cdot v^2 = m \cdot g \cdot h

Wir dividieren durch die Masse und ersetzen die Höhe durch r\left( {r - \cos \left( \phi  \right)} \right):

\frac{1} {2} \cdot v^2 = g \cdot r \cdot \left( {1-\cos \phi } \right)

Um die Geschwindigkeit zu bestimmen, stellen wir die zuvor hergeleitete Formel um und setzen ein:

\frac{{v^2 }} {r} = g \cdot \cos \phi \quad \Rightarrow \quad v^2 = r \cdot g \cdot \cos \phi

\frac{1} {2} \cdot v^2 = g \cdot r \cdot \left( {1-\cos \phi } \right)\quad \Rightarrow \quad \frac{1} {2} \cdot r \cdot g \cdot \cos \phi = g \cdot r \cdot \left( {1-\cos \phi } \right)\quad |:\left( {r \cdot g} \right)

\frac{1} {2} \cdot \cos \phi = 1-\cos \phi \quad \Rightarrow \quad \frac{3} {2} \cdot \cos \phi = 1\quad \Rightarrow \quad \cos \phi = \frac{2} {3}\quad

\Rightarrow \quad \phi = \arccos \left( {\frac{2} {3}} \right) = 48,19^\circ

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