33 – Differenzieren, Ableitungsregeln

 

Bestimmen Sie die Ableitungen der folgenden Funktionen

f_1 :\mathbb{R} \to \mathbb{R} x \mapsto x^5 +3x^3 +2x^2 +4
f_2 :\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\} \to \mathbb{R} x \mapsto \frac{{2x^3 -x^2 +5}} {{x-2}}
f_3 :\left] {1,\infty } \right[ \to \mathbb{R} x \mapsto \exp \left( {\frac{1} {{\ln x}}} \right)
f_4 :\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\} \to \mathbb{R} x \mapsto \exp \left( {\ln \left( {x^2 } \right)} \right)
f_5 :\left] {0,\infty } \right[ \to \mathbb{R} x \mapsto x^r \quad , \quad r \in \mathbb{R}
f_6 :\left] {0,\infty } \right[ \to \mathbb{R} x \mapsto x^x
f_7 :\mathbb{R} \to \mathbb{R} x \mapsto \frac{{x^3 -x^2 -2x}} {{x-2}}

Lösung

1. Alle Summanden des Polynoms werden getrennt abgeleitet nach der Regel (xn) ‘ = n · xn-1:

f_1  ^{\prime}\left( x \right) = \left( {x^5 +3x^3 +2x^2 +4} \right) ^{\prime}= 5x^4 +9x^2 +4x

2. Es wird nach der Quotientenregel abgeleitet:

\left( {\frac{{f\left( x \right)}} {{u\left( x \right)}}} \right) ^{\prime}= \frac{{u ^{\prime}\left( x \right)v\left( x \right)-u\left( x \right)v ^{\prime}\left( x \right)}} {{{{\left( {v\left( x \right)} \right)}^2}}}

oder kurz:

\left( {\frac{f} {u}} \right) ^{\prime}= \frac{{u ^{\prime}\cdot v-u \cdot v ^{\prime}}} {{v^2 }}

f_2  ^{\prime}\left( x \right) = \left( {\frac{{2x^3 -x^2 +5}} {{x-2}}} \right) ^{\prime}= \frac{{\left( {6x^2 -2x} \right) \cdot \left( {x-2} \right)-\left( {2x^3 -x^2 +5} \right) \cdot 1}} {{\left( {x-2} \right)^2 }}

= \frac{{6x^3 -12x^2 -2x^2 +4x-2x^3 +x^2 -5}} {{\left( {x-2} \right)^2 }} = \frac{{4x^3 -13x^2 +4x-5}} {{\left( {x-2} \right)^2 }}

3. Hier muss zwei mal die Kettenregel angewendet werden:

f\left( {g\left( x \right)} \right) = f ^{\prime}\left( {g\left( x \right)} \right) \cdot g ^{\prime}\left( x \right)

f_3  ^{\prime}\left( x \right) = \left( {\exp \left( {\frac{1} {{\ln x}}} \right)} \right) ^{\prime}= \exp \left( {\frac{1} {{\ln x}}} \right) \cdot \left( {\frac{1} {{\ln x}}} \right) ^{\prime}= \exp \left( {\frac{1} {{\ln x}}} \right) \cdot \frac{{-1}} {{\left( {\ln x^2 } \right)^2 }} \cdot \frac{1} {x}

4. Hier vereinfacht sich die Funktion schon vor dem differenzieren:

f_4  ^{\prime}\left( x \right) = \left( {\exp \left( {\ln \left( {x^2 } \right)} \right)} \right) ^{\prime}= \left( {x^2 } \right) ^{\prime}= 2x

5. Dies ist einfach die normale Ableitungsregel:

f_5  ^{\prime}\left( x \right) = \left( {x^r } \right) ^{\prime}= r \cdot x^{r-1}

6. Hier muss man umformen und dann die Kettenregel und die Produktregel anwenden:

f_6  ^{\prime}\left( x \right) = \left( {x^x } \right) ^{\prime}= \left( {\exp \left( {x\ln x} \right)} \right) ^{\prime}= \exp \left( {x\ln x} \right) \cdot \left( {x\ln x} \right) ^{\prime}

= \exp \left( {x\ln x} \right) \cdot \left( {1 \cdot \ln x+x \cdot \frac{1} {x}} \right) = \exp \left( {x\ln x} \right) \cdot \left( {\ln x+1} \right)

7. Hier kann man vor dem Differenzieren durch Polynomdivision vereinfachen und so die Definitionslücke beheben:

f_7  ^{\prime}\left( x \right) = \left( {\frac{{x^3 -x^2 -2x}} {{x-2}}} \right) ^{\prime}= \left( {\frac{{\left( {x-2} \right) \cdot \left( {x^2 +x} \right)}} {{\left( {x-2} \right)}}} \right) ^{\prime}= \left( {x^2 +x} \right) ^{\prime}= 2x+1

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