03.3 – Schiefe Ebene

gleiten-schiefe-ebene

Ein Körper der Masse m gleitet reibungsfrei die Schiefe Ebene mit dem Neigungswinkel $\alpha$ von A nach B hinab.

Stellen Sie die Differentialgleichung der Bewegung von m aus der Newton’schen Bewegungsgleichung auf
Stellen Sie die Differentialgleichung der Bewegung von m aus dem Energieerhaltungssatz auf
Lösen Sie die Bewegungsgleichung mit den Anfangebedingungen z=0 und v_z = 0 bei t = 0 und geben Sie die maximale Geschwindigkeit von m am Fußpunkt B an. Führen Sie hierzu die Koordinate z in Bewegungsrichtung von m ein

Lösung

Animation zur Aufgabenstellung

a )

Aufstellen der Differentialgleichung aus der Newton’schen Bewegungsgleichung F = ma

$F_x = 0\quad \Rightarrow \quad m \cdot \ddot r = 0$

$F_y = m \cdot g\quad \Rightarrow \quad m \cdot \ddot r = m \cdot g$

Nun führen wir noch eine dritte Koordinate in Z-Richtung ein:

$F_z = F_G \cdot \sin \alpha$

$m \cdot \ddot z = m \cdot g \cdot \sin \alpha \quad |:m$

$\ddot z = g \cdot \sin \alpha$

b )

Wir nehmen an, dass der Körper zum Zeitpunkt t=0 die maximale potentielle Energie besitzt. Durch die Bewegung des Körpers verringert sich seine Höhe. Durch die Höhenänderung wird aus der potentiellen Energie kinetische Energie. Deswegen ist die aktuelle kinetische Energie immer gleich der schon umgewandelten potentiellen Energie.

$E_{kin} = E_{pot}$

$\frac{m} {2} \cdot v^2 = m \cdot g \cdot h\quad |:m$

$\frac{{v^2 }} {2} = g \cdot h\quad |\Delta h = z \cdot \sin \alpha$

$\dot z^2 = 2 \cdot g \cdot z \cdot \sin \alpha$

c )

Lösung der Differentialgleichung aus der Bewegungsgleichung mit Hilfe der Rahmenbedingungen:

$\ddot z = g \cdot \sin \alpha$

$\dot z = g \cdot \sin \alpha \cdot t+C_1$

$z = \frac{{g \cdot \sin \alpha }} {2} \cdot t^2 +C_1 \cdot t+C_2$

$z\left( 0 \right) = 0\quad \Rightarrow \quad C_2 = 0$

$\dot z\left( 0 \right) = 0\quad \Rightarrow \quad C_1 = 0$

$z\left( t \right) = \frac{{g \cdot \sin \alpha }} {2} \cdot t^2$

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