03.4 – Fallschirmspringer

 

Der Luftwiderstand einer Querschnittsfläche A, die sich mit einer Geschwindigkeit v durch Luft (Dichte ρ = 1.295 kg · m-3 bewegt, kann durch die Kraft F = (1/2) · ρ · A · v2 beschrieben werden. Nehmen Sie für die folgenden Fragen einen Köfper der Masse m an, der sich im Gravitationsfeld der Erde mit Luftwiderstand senkrecht nach unten bewegt.

  1. Wie lautet die Differentialgleichung der Bewegung von m?
  2. Berechnen Sie die Fallgeschwindigkeit v und geben Sie die Grenzgeschwindigkeit vG an
  3. Ein Fallschirmspringer der Masse m = 75kg lässt sich aus großer Höhe in horizontaler Lage (Fläche A1 = 180cm x 40cm) fallen. Berechnen Sie seine Grenzgeschwindigkeit vG1
  4. Welche Geschwindigkeit vG2 erreicht er, wenn er sich in vertikaler Lage (Fläche A2 = 20cm x 40cm) fallen lässtß
  5. Zum Glück öffnet sich sein Fallschirm! Welche Fläche muss der Fallschirm haben, damit seine Geschwindigkeit nicht größer wird, als wenn er ohne Luftwiderstand von einer 1,8m hohen Mauer springen würde?

Lösung

a )

Wir fangen mit dem Newton’schen Ansatz F = ma an um die Bewegungsgleichung aufzustellen:

F = m \cdot a

Die Summe der Kräfte ergibt sich diesmal aus der Gewichtskraft und einer entgegenwirkenden Kraft durch den Luftwiderstand

m \cdot g-\frac{1} {2} \cdot \rho \cdot A \cdot \dot z^2 = m \cdot \ddot z\quad |:m

\ddot z = g-\frac{1} {{2m}} \cdot \rho \cdot A \cdot \dot z^2

b )

Nun können wir eine Rahmenbedingung aus der Aufgabe in die Differentialgleichung einfügen. Wir wissen, dass bei der Grenzgeschwindigkeit der Fallschirmspringer nicht mehr beschleunigt. Somit ergibt sich:

\ddot z = 0

Einsetzen in die DGL ergibt:

0 = g-\frac{1} {{2m}} \cdot \rho \cdot A \cdot \dot z^2

Wir stellen die Gleichung um und erhalten die Geschwindigkeit, an der der Fallschirmspringer nicht mehr beschleunigt.

\dot z_{Grenz} = \sqrt {\frac{{2 \cdot m \cdot g}} {{\rho \cdot A}}} = v_{Grenz}

c )

v_{Grenz} = \sqrt {\frac{{2 \cdot m \cdot g}} {{\rho \cdot A}}}

v_{Grenz} = \sqrt {\frac{{2 \cdot 75kg \cdot 9,81\frac{m} {{s^2 }}}} {{1,295\frac{{kg}} {{m^3 }} \cdot \left( {1,8m \cdot 0,4m} \right)}}} = 39,73\frac{m} {s}

d )

v_{Grenz} = \sqrt {\frac{{2 \cdot 75kg \cdot 9,81\frac{m} {{s^2 }}}} {{1,295\frac{{kg}} {{m^3 }} \cdot \left( {0,2m \cdot 0,4m} \right)}}} = 119,18\frac{m} {s}

e )

Als erstes berechnen wir die Geschwindigkeit, die der Springer von einer 1,8m hohen Mauer erreichen würde. Dazu wählen wir wieder den Newton’schen Ansatz F = ma

F = m \cdot a

-m \cdot g = m \cdot \ddot r\quad |:m

\ddot r = -g

\dot r = -g \cdot t+C_1

r = -\frac{g} {2} \cdot t^2 +C_1 \cdot t+C_2

Nun berechnen wir die Konstanten die durch Integration entstanden sind durch die Rahmenbedingungen:

\dot r\left( 0 \right) = 0\quad \Rightarrow \quad C_1 = 0

r\left( 0 \right) = 1,8m\quad \Rightarrow \quad C_2 = 1,8m

Es ergibt sich folgende Gleichung für die Bewegung von der Mauer

r\left( t \right) = -\frac{g} {2} \cdot t^2 +1,8m

Jetzt berechnen wir die Zeit, die benötigt wird, bis man auf dem Boden aufkommt, das heißt die Höhe beträgt r=0:

0 = -\frac{g} {2} \cdot t^2 +1,8m

t^2 = \frac{{2 \cdot 1.8m}} {g}

t = \sqrt {\frac{{2 \cdot 1.8m}} {g}} = 0,6s

Aus der Zeit die benötigt wird berechnen wir die Geschwindigkeit, die man erreicht.

\dot r\left( {0,6s} \right) = \left| {-g \cdot t} \right| = \left| {-g \cdot 0,6s} \right| = 5,94\frac{m} {s}

Jetzt berechnen wir die aus der gegebenen Geschwindigkeit die Fläche des Fallschirms:

v_{Grenz} = \sqrt {\frac{{2 \cdot m \cdot g}} {{\rho \cdot A}}} \quad \Rightarrow \quad v^2 _{Grenz} = \frac{{2 \cdot m \cdot g}} {{\rho \cdot A}}\quad \Rightarrow \quad A = \frac{{2 \cdot m \cdot g}} {{\rho \cdot v^2 _{Grenz} }}

A = \frac{{2 \cdot 75kg \cdot g}} {{1,295\frac{{kg}} {{m^3 }} \cdot \left( {5,94\frac{m} {s}} \right)^2 }} = 32,175m^2

Für einen runden Fallschirm können wir nun den Radius der Grundfläche berechnen:

\pi r^2 = A

r = \sqrt {\frac{A} {\pi }} = \sqrt {\frac{{32,175m^2 }} {\pi }} = 3,2m