34 – Grenzwertbestimmung, Regel von de l’ Hospital

 

Untersuchen Sie, ob die folgenden Grenzwerte existieren, und bestimmen Sie sie gegebenen falls.

a

\lim \limits_{x \to 1} \frac{{\ln x}} {{x-x^2 }}

b

\lim \limits_{x \to \infty } \left( {x \cdot \left( {\exp \left( {\frac{1} {x}} \right)-1} \right)} \right)

Hinweis zu b: Sie können verwenden, dass

\lim \limits_{x \to \infty } f\left( x \right) = \lim \limits_{t \to 0} f\left( {\frac{1} {t}} \right)

gilt, wenn einer der beiden Grenzwerte existiert.

Lösung

a )

Die Funktion f(x) = ln(x) strebt gegen 0, wenn x gegen 1 strebt. Auch die Funktion g(x) = x-x2 strebt gegen 0, wenn x gegen 1 strebt.
Man könnte also vermuten, der Grenzwert wäre 0/0. Diesen können wir jedoch nicht berechnen.

Aufgaben dieser Art lassen sich mit der Regel von de l’Hospital lösen.

Die Regel lautet:
Wenn für zwei auf dem offenen Intervall ]a,b[ differenzierbare Funktionen f und g gilt:

f\left( a \right) = g\left( a \right) = 0\quad g\left( x \right) \ne 0\:\forall x \in \left] {a,b} \right[\backslash \left\{ a \right\}\quad g ^{\prime}\left( x \right) \ne 0

dann folgt daraus:

\lim \limits_{x \to a,x \ne a} \frac{{f\left( x \right)}} {{g\left( x \right)}} = \frac{{f ^{\prime}\left( a \right)}} {{g ^{\prime}\left( a \right)}}

Was bedeutet das? Wir schauen uns die Schaubilder der Funktionen

f\left( x \right) = \ln x

g\left( x \right) = x-x^2

Die Bedingungen der Regel von de l'Hospital sind erfüllt: Beide Funktionen sind differenzierbar auf dem offenen Intervall ]0,8[ und es gilt f(1) = g(1) = 0. g(x) ist außerdem in dem Intervall überall ? 0, außer bei 1.
Es gilt also:

\lim \limits_{x \to 1,x \ne 1} \frac{{f\left( x \right)}} {{g\left( x \right)}} = \frac{{f ^{\prime}\left( 1 \right)}} {{g ^{\prime}\left( 1 \right)}}

Nun setzen wir die gegebenen Funktionen ein und erhalten:

\lim \limits_{x \to 1,x \ne 1} \frac{{\ln x}} {{x-x^2 }} = \frac{{\frac{1} {1}}} {{1-2 \cdot 1}} = \frac{1} {{-1}} = -1

Dass dies tatsächlich der korrekte Grenzwert ist, sehen wir an der Funktion des Quotienten, der an der Stelle 1 gleich -1 ist:

b )

Auch diese Aufgabe soll mit der Regel von de l’Hospital berechnet werden. Allerdings ergibt sich auf den ersten Blick kein geeigneter Quotient in

\lim \limits_{x \to \infty } \left( {x \cdot \left( {\exp \left( {\frac{1} {x}} \right)-1} \right)} \right)

Zwar gilt, dass

\lim \limits_{x \to \infty } \left( {\exp \left( {\frac{1} {x}} \right)-1} \right) = 0

aber das x strebt nicht gegen 0, sondern gegen unendlich. Wir können den Term aber wie folgt umformen:

\lim \limits_{x \to \infty } \left( {x \cdot \left( {\exp \left( {\frac{1} {x}} \right)-1} \right)} \right) = \lim \limits_{x \to \infty } \left( {\frac{x} {1} \cdot \left( {\exp \left( {\frac{1} {x}} \right)-1} \right)} \right) = \lim \limits_{x \to \infty } \frac{{\exp \left( {\frac{1} {x}} \right)-1}} {{\frac{1} {x}}}

Nun streben tatsächlich Zähler und Nenner des Bruches gegen 0, wenn x gegen unendlich strebt.
Zur Veranschaulichung hier der Graph der beiden Funktionen:

Wir berechnen den Grenzwert:

\lim \limits_{x \to \infty } \frac{{\exp \left( {\frac{1} {x}} \right)-1}} {{\frac{1} {x}}} = \lim \limits_{x \to \infty } \frac{{\exp \left( {\frac{1} {x}} \right) \cdot \frac{{-1}} {{x^2 }}}} {{\frac{{-1}} {{x^2 }}}} = \lim \limits_{x \to \infty } \exp \left( {\frac{1} {x}} \right) = 1

Und zum Vergleich der Graph mit der Funktion des Quotienten: