35 – lokale und globale Extrema

Bestimmen Sie alle lokalen Extrema der Funktion

$f:\; \left] {-4,4} \right] \to \mathbb{R}\quad \quad x \mapsto x^3 -3x^2 -9x+7$

Untersuchen Sie, ob globale Minima bzw Maxima existieren. Bestimmen Sie gegebenenfalls alle Stellen, an denen diese angenommen werden.

Lösung

Die Bedingungen für eine Extremstelle sind:

1. Notwendige Bedingung: f ^{\prime}(x) = 0
2. Hinreichende Bedingung: f^{\prime\prime}(x) ≠ 0

Wir müssen die Funktion also zunächst zwei mal ableiten:

$f ^{\prime}\left( x \right) = 3x^2 -6x-9$

$f^{\prime\prime}\left( x \right) = 6x-6$

Wir setzen nun die erste Ableitung gleich 0 und erhalten die potenziellen Extremstellen:

$\Leftrightarrow x^2 -2x-3 = 0$

$\Leftrightarrow x^2 -2x+1 = 4$

$\Leftrightarrow \left( {x-1} \right)^2 = 4$

$\Leftrightarrow x-1 = \pm 2$

$x_1 = -1,\quad \quad x_2 = 3$

Diese Stellen setzen wir in die zweite Ableitung ein:

$f^{\prime\prime}\left( {-1} \right) = -6-6 = -12 < 0 \to \max$

$f^{\prime\prime}\left( 3 \right) = 18-6 = 12 > 0 \to \min$

Jetzt berechnen wir die Funktionswerte zu den Extremstellen:

$f\left( {-1} \right) = \left( {-1} \right)^3 -3\left( {-1} \right)^2 -9\left( {-1} \right)+7 = -1-3+9+7 = 12$

$f\left( 3 \right) = 3^3 -3\left( 3 \right)^2 -9\left( 3 \right)+7 = 27-27-27+7 = -20$

Es gibt also ein lokales Maximum bei (-1;12) und ein lokales Minimum bei (3;-20).

Dies sind jedoch nicht zwingend die globalen Extremstellen. Wir betrachten den Graphen der Funktion auf dem gebenen Intervall:

Der Funktionswert an der Stelle -4 ist -69. Daher ist (-4;-69) ein globales Minimum. (-1;12) bleibt globales Maximum.