36 – Umkehrfunktion

Aufgabe 36

Die Funktion

$f:\left] {0,\infty } \right[ \to \mathbb{R}$
sei gegeben durch

${f\left( x \right) = 2e^x -x,\quad x \in \left] {0,\infty } \right[}$

Zeigen Sie:

$f$ besitzt eine differenzierbare Umkehrfunktion $f^{-1}$ (nicht angeben).
Für alle
${x,y \in \left] {2,\infty } \right[, \quad x \ne y}$

gilt:

$\left| {f^{-1} \left( x \right)-f^{-1} \left( y \right)} \right| < \left| {x-y} \right|$

Lösung

a )

Damit f eine Umkehrfunktion besitzen kann muss f streng monoton sein. Denn eine Umkehrfunktion muss bijektiv sein. Ansonsten wären x und y ja einander nicht eindeutig zuzuordnen.

Streng monoton bedeutet, dass die Ableitung der Funktion f entweder dauerhaft > oder < 0 sein muss.

Mit $f ^{\prime}\left( x \right) = 2e^x -1$ und $x > 0$ (was an dem Intervall für x abzulesen ist) folgt, dass
$f ^{\prime}> 1 > 0$ , denn $f ^{\prime}\left( 0 \right) = 2e^0 -1 = 1$

damit haben wir gezeigt, dass f streng monoton (steigend) ist.

Des Weiteren gilt für eine Umkehrfunktion:

$u ^{\prime}\left( y \right) = \frac{1} {{f ^{\prime}\left( x \right)}} = \frac{1} {{f ^{\prime}\left( {u\left( y \right)} \right)}}$

Da $f ^{\prime}\left( x \right) \ne 0$ ist, wie wir oben gezeigt haben, existiert die Umkehrfunktion also.

q.e.d.

b )

Erstmal eine einfache Umformung:

$\left| {f^{-1} \left( x \right)-f^{-1} \left( y \right)} \right| < \left| {x-y} \right|$

$\left| {u\left( x \right)-u\left( y \right)} \right| < \left| {x-y} \right|$

$\frac{{\left| {u\left( x \right)-u\left( y \right)} \right|}} {{\left| {x-y} \right|}} < 1$

$\left| {\frac{{u\left( x \right)-u\left( y \right)}} {{x-y}}} \right| < 1$

Dies ist, wie man unschwer erkennen kann, ein Differentialquotient.
Nach dem Mittelwertsatz gibt es nun auf jeden Fall ein $c \in \left] {2,\infty } \right[$ , so dass:
$u ^{\prime}\left( c \right) < 1$