36 – Umkehrfunktion

 

Aufgabe 36

Die Funktion

f:\left] {0,\infty } \right[ \to \mathbb{R}
sei gegeben durch

{f\left( x \right) = 2e^x -x,\quad x \in \left] {0,\infty } \right[}

Zeigen Sie:

  1. f besitzt eine differenzierbare Umkehrfunktion f^{-1} (nicht angeben).
  2. Für alle

    {x,y \in \left] {2,\infty } \right[, \quad x \ne y}

    gilt:

    \left| {f^{-1} \left( x \right)-f^{-1} \left( y \right)} \right| < \left| {x-y} \right|

Lösung

a )

Damit f eine Umkehrfunktion besitzen kann muss f streng monoton sein. Denn eine Umkehrfunktion muss bijektiv sein. Ansonsten wären x und y ja einander nicht eindeutig zuzuordnen.

Streng monoton bedeutet, dass die Ableitung der Funktion f entweder dauerhaft > oder < 0 sein muss.

Mit f ^{\prime}\left( x \right) = 2e^x -1 und x > 0 (was an dem Intervall für x abzulesen ist) folgt, dass
f ^{\prime}> 1 > 0, denn f ^{\prime}\left( 0 \right) = 2e^0 -1 = 1

damit haben wir gezeigt, dass f streng monoton (steigend) ist.

Des Weiteren gilt für eine Umkehrfunktion:

u ^{\prime}\left( y \right) = \frac{1} {{f ^{\prime}\left( x \right)}} = \frac{1} {{f ^{\prime}\left( {u\left( y \right)} \right)}}

Da f ^{\prime}\left( x \right) \ne 0 ist, wie wir oben gezeigt haben, existiert die Umkehrfunktion also.

q.e.d.

b )

Erstmal eine einfache Umformung:

\left| {f^{-1} \left( x \right)-f^{-1} \left( y \right)} \right| < \left| {x-y} \right|

\left| {u\left( x \right)-u\left( y \right)} \right| < \left| {x-y} \right|

\frac{{\left| {u\left( x \right)-u\left( y \right)} \right|}} {{\left| {x-y} \right|}} < 1

\left| {\frac{{u\left( x \right)-u\left( y \right)}} {{x-y}}} \right| < 1

Dies ist, wie man unschwer erkennen kann, ein Differentialquotient.
Nach dem Mittelwertsatz gibt es nun auf jeden Fall ein c \in \left] {2,\infty } \right[, so dass:
u ^{\prime}\left( c \right) < 1

Wir wissen nun aus Aufgabe a) noch:

u ^{\prime}\left( c \right) = \frac{1} {{f ^{\prime}\left( {u\left( c \right)} \right)}} < 1
1 < f ^{\prime}\left( {u\left( c \right)} \right)

Dass f ^{\prime}> 1 tatsächlich stimmt haben wir in Aufgabe a) schon gezeigt.

Somit sind wir also fertig und haben die anfängliche Aussage bestätigt.