37 – Real- und Imaginärteil von Komplexen Zahlen

Aufgabe 37

Berechnen Sie jeweils Real- und Imaginärteil von:

z_1 = \frac{1}<br /> {i}, \quad z_2 = \frac{{2-i}}<br /> {{2+i}}, \quad z_3 = \frac{{\left( {1+2i} \right)^3 }}<br /> {{\left( {1+i} \right)^2 }} \quad \in \mathbb{C}

Lösung

Um den Real- und Imaginärteil einer komplexen Zahl direkt ablesen zu können, müssen wir sie in die Form z: = x+iy bringen, wobei Re(z) = x und Im(z) = y ist.

z1

z_1 = \frac{1}<br /> {i} = 0+\frac{1}<br /> {i} = 0+i\left( {\frac{1}<br /> {{i^2 }}} \right) = 0+i\left( {\frac{1}<br /> {{-1}}} \right) = \underbrace 0_{\operatorname{Re} }+i\underbrace {\left( {-1} \right)}_{\operatorname{Im} }

z2

<br /> z_2 = \frac{{2-i}}<br /> {{2+i}} = \frac{{2-i}}<br /> {{2+i}} \cdot \frac{{2-i}}<br /> {{2-i}} = \frac{{4-4i+i^2 }}<br /> {{4-i^2 }} = \frac{{4-4i-1}}<br /> {{4+1}} = \frac{{3-4i}}<br /> {5} = \underbrace {\frac{3}<br /> {5}}_{\operatorname{Re} }+i\underbrace {\left( {-\frac{4}<br /> {5}} \right)}_{\operatorname{Im} }<br />

z3

z_3 = \frac{{\left( {1+2i} \right)^3 }}<br /> {{\left( {1+i} \right)^2 }} = \frac{{\left( {1+2i} \right)^3 }}<br /> {{\left( {1+i} \right)^2 }} \cdot \frac{{\left( {1-i} \right)^2 }}<br /> {{\left( {1-i} \right)^2 }} = \frac{{\left( {1+4i+4i^2 } \right)\left( {1+2i} \right)}}<br /> {{1+2i+i^2 }} \cdot \frac{{1-2i+i^2 }}<br /> {{1-2i+i^2 }}

= \frac{{1+4i+4i^2 +2i+8i^2 +8i^3 }}<br /> {{2i}}\frac{{1-2i+i^2 }}<br /> {{-2i}} = \frac{{\left( {-2i-11} \right)\left( {-2i} \right)}}<br /> {{-4i^2 }} = \frac{{4i^2 +22i}}<br /> {4}

= \frac{{-4+22i}}<br /> {4} = \underbrace {-1}_{\operatorname{Re} }+i\underbrace {\left( {\frac{{11}}<br /> {2}} \right)}_{\operatorname{Im} }

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