37 – Real- und Imaginärteil von Komplexen Zahlen

 

Aufgabe 37

Berechnen Sie jeweils Real- und Imaginärteil von:

z_1  = \frac{1} {i}, \quad z_2  = \frac{{2-i}} {{2+i}}, \quad  z_3  = \frac{{\left( {1+2i} \right)^3 }} {{\left( {1+i} \right)^2 }} \quad  \in \mathbb{C}

Lösung

Um den Real- und Imaginärteil einer komplexen Zahl direkt ablesen zu können, müssen wir sie in die Form z: = x+iy bringen, wobei Re(z) = x und Im(z) = y ist.

z1

z_1  = \frac{1} {i} = 0+\frac{1} {i} = 0+i\left( {\frac{1} {{i^2 }}} \right) = 0+i\left( {\frac{1} {{-1}}} \right) = \underbrace 0_{\operatorname{Re} }+i\underbrace {\left( {-1} \right)}_{\operatorname{Im} }

z2

z_2  = \frac{{2-i}} {{2+i}} = \frac{{2-i}} {{2+i}} \cdot \frac{{2-i}} {{2-i}} = \frac{{4-4i+i^2 }} {{4-i^2 }} = \frac{{4-4i-1}} {{4+1}} = \frac{{3-4i}} {5} = \underbrace {\frac{3} {5}}_{\operatorname{Re} }+i\underbrace {\left( {-\frac{4} {5}} \right)}_{\operatorname{Im} }

z3

z_3  = \frac{{\left( {1+2i} \right)^3 }} {{\left( {1+i} \right)^2 }} = \frac{{\left( {1+2i} \right)^3 }} {{\left( {1+i} \right)^2 }} \cdot \frac{{\left( {1-i} \right)^2 }} {{\left( {1-i} \right)^2 }} = \frac{{\left( {1+4i+4i^2 } \right)\left( {1+2i} \right)}} {{1+2i+i^2 }} \cdot \frac{{1-2i+i^2 }} {{1-2i+i^2 }}

= \frac{{1+4i+4i^2 +2i+8i^2 +8i^3 }} {{2i}}\frac{{1-2i+i^2 }} {{-2i}} = \frac{{\left( {-2i-11} \right)\left( {-2i} \right)}} {{-4i^2 }} = \frac{{4i^2 +22i}} {4}

= \frac{{-4+22i}} {4} = \underbrace {-1}_{\operatorname{Re} }+i\underbrace {\left( {\frac{{11}} {2}} \right)}_{\operatorname{Im} }