04 – Anwendung der Körperaxiome

 

Sei K ein Körper. Zeigen Sie ausführlich unter Bezugnahme auf die Körperaxiome und die Definition der Division, dass für a \in K;\quad b,c,d \in K{\rm{\backslash }}\left\{ 0 \right\} die folgende Behauptung stimmt:

\frac{{\frac{a} {b}}} {{\frac{c} {d}}} = \frac{{ad}} {{bc}}

Lösung

Die Division ist definiert als die Multiplikation mit dem inversen Element. Wir formen dementsprechend um:

\frac{{\frac{a} {b}}} {{\frac{c} {d}}} = \frac{a} {b} \cdot \left( {\frac{c} {d}} \right)^{-1} = \left( {a \cdot b^{-1} } \right) \cdot \left( {c^{-1} \cdot \left( {d^{-1} } \right)^{-1} } \right)

Nach dem Assoziativgesetz für die Multiplikation lassen wir die Klammern weg:

\left( {a \cdot b^{-1} } \right) \cdot \left( {c^{-1} \cdot \left( {d^{-1} } \right)^{-1} } \right) = a \cdot b^{-1} \cdot c^{-1} \cdot d

Nach dem Kommutativgesetz für die Multiplikation vertauschen wir die Faktoren:

a \cdot b^{-1} \cdot c^{-1} \cdot d = a \cdot d \cdot b^{-1} \cdot c^{-1}

Nach dem Assoziativgesetz für die Multiplikation fügen wir Klammern hinzu und erhalten durch die Definition der Division:

a \cdot d \cdot b^{-1} \cdot c^{-1} = \left( {ad} \right) \cdot \left( {bc} \right)^{-1} = \frac{{ad}} {{bc}}

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2 Kommentare zu “04 – Anwendung der Körperaxiome”

ja, das sehe ich auch so, denn ich bin zwar in der 6., aber mit Zahlen we4r das wohl viel leichter. Auf diseer Seite check ich leider gar nichts. ;( *schluchz*

Du kannst für a, b, c und d jede beliebige Zahl einsetzen. Vielleicht kannst du das Konzept besser verstehen, wenn du das mal ausprobierst.
Um die Behauptung zu beweisen, muss man dann aber die Buchstaben verwenden. Ansonsten hat man nur gezeigt, dass es für ein paar ausgewählte Zahlen gilt, nicht aber für alle Zahlen.

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