04 – Anwendung der Körperaxiome

 

Sei K ein Körper. Zeigen Sie ausführlich unter Bezugnahme auf die Körperaxiome und die Definition der Division, dass für a \in K;\quad b,c,d \in K{\rm{\backslash }}\left\{ 0 \right\} die folgende Behauptung stimmt:

\frac{{\frac{a} {b}}} {{\frac{c} {d}}} = \frac{{ad}} {{bc}}

Lösung

Die Division ist definiert als die Multiplikation mit dem inversen Element. Wir formen dementsprechend um:

\frac{{\frac{a} {b}}} {{\frac{c} {d}}} = \frac{a} {b} \cdot \left( {\frac{c} {d}} \right)^{-1} = \left( {a \cdot b^{-1} } \right) \cdot \left( {c^{-1} \cdot \left( {d^{-1} } \right)^{-1} } \right)

Nach dem Assoziativgesetz für die Multiplikation lassen wir die Klammern weg:

\left( {a \cdot b^{-1} } \right) \cdot \left( {c^{-1} \cdot \left( {d^{-1} } \right)^{-1} } \right) = a \cdot b^{-1} \cdot c^{-1} \cdot d

Nach dem Kommutativgesetz für die Multiplikation vertauschen wir die Faktoren:

a \cdot b^{-1} \cdot c^{-1} \cdot d = a \cdot d \cdot b^{-1} \cdot c^{-1}

Nach dem Assoziativgesetz für die Multiplikation fügen wir Klammern hinzu und erhalten durch die Definition der Division:

a \cdot d \cdot b^{-1} \cdot c^{-1} = \left( {ad} \right) \cdot \left( {bc} \right)^{-1} = \frac{{ad}} {{bc}}