04.1 – Elastischer Stoß

 

elastischer-stos-winkel

Ein Körper der Masse M und der Geschwindigkeit v_0 stößt vollkommen elastisch auf den Körper der Masse m.

  1. Der Stoß sei als zentral anzunehmen. Berechnen Sie die Geschwindigkeiten v_M und v_m der beiden Körper nach dem Stoß. Setzen Sie M = a \cdot m und diskutieren Sie die Fälle a < 1, a = 1 und a > 1
  2. Der Stoß sei nun nicht mehr zentral. Berechnen Sie die Geschwindigkeit v der Masse M als Funktion des Streuwinkels \vartheta. Setzen Sie hier zur Vereinfachung M = m.

Lösung

a )

Wir nutzen zunächst den Impulserhaltungssatz und setzen die in der Aufgabenstellung gegebene Bedingung M = am ein:

p = m \cdot v

M \cdot v_0 = M \cdot v_M +m \cdot v_m \quad |M = a \cdot m

a \cdot m \cdot v_0 = a \cdot m \cdot v_M +m \cdot v_m \quad |:m

a \cdot v_0 = a \cdot v_M +v_m

Nun fahren wir mit dem Energieerhaltungssatz fort:

E_{kin} = \frac{1} {2}m \cdot v^2

\frac{1} {2}M \cdot v_0^2 = \frac{1} {2}M \cdot v_M^2 +\frac{1} {2}m \cdot v_m^2 \quad |M = a \cdot m

\frac{1} {2}a \cdot m \cdot v_0^2 = \frac{1} {2}a \cdot m \cdot v_M^2 +\frac{1} {2}m \cdot v_m^2 \quad | \cdot 2

a \cdot m \cdot v_0^2 = a \cdot m \cdot v_M^2 +m \cdot v_m^2 \quad |:m

a \cdot v_0^2 = a \cdot v_M^2 +v_m^2

v_0 ist eine gegebene Größe, daher haben wir nun zwei Gleichugen mit zwei Unbekannten. Dieses Gleichungssystem lösen wir, indem wir die Gleichung von der Impulserhaltung nach v_M umstellen und in die Gleichung der Energieerhaltung einsetzen:

a \cdot v_0 = a \cdot v_M +v_m

a \cdot v_M = a \cdot v_0 -v_m \quad |:a

v_M = v_0 -\frac{{v_m }} {a}

einsetzen:

a \cdot v_0^2 = a \cdot \left( {v_0 -\frac{{v_m }} {a}} \right)^2 +v_m^2

a \cdot v_0^2 = a \cdot \left( {v_0^2 -2 \cdot v_0 \cdot \frac{{v_m }} {a}+\left( {\frac{{v_m }} {a}} \right)^2 } \right)+v_m^2 \quad |:a

v_0^2 = v_0^2 -2 \cdot v_0 \cdot \frac{{v_m }} {a}+\left( {\frac{{v_m }} {a}} \right)^2 +\frac{{v_m^2 }} {a}

0 = \frac{{v_m^2 }} {a}-2 \cdot v_0 \cdot \frac{{v_m }} {a}+\frac{{v_m^2 }} {{a^2 }}\quad | \cdot a

0 = v_m^2 -2 \cdot v_0 \cdot v_m +\frac{{v_m^2 }} {a}

0 = v_m \cdot \left( {v_m -2 \cdot v_0 +\frac{{v_m }} {a}} \right)

v_{m_1 } = 0

0 = v_{m_2 } -2 \cdot v_0 +\frac{{v_{m_2 } }} {a}

2 \cdot v_0 = v_{m_2 } \cdot \left( {1+\frac{1} {a}} \right)

v_{m_2 } = \frac{{2 \cdot v_0 }} {{1+\frac{1} {a}}} = \frac{{2 \cdot v_0 }} {{\frac{{a+1}} {a}}} = \frac{{2 \cdot v_0 \cdot a}} {{a+1}}

Dies setzen wir in die Gleichung der Impulserhaltung ein, um v_M zu erhalten:

v_M = v_0 -\frac{{\frac{{2 \cdot v_0 \cdot a}} {{a+1}}}} {a} = v_0 -\frac{{2 \cdot v_0 }} {{a+1}} = v_0 \cdot \left( {1-\frac{2} {{a+1}}} \right)

Als letztes betrachten wir noch die verschiedenen Möglichkeiten für a und die Auswirkungen auf v_m und v_M:

a < 1\quad \Rightarrow \quad v_M < 0;\quad v_m > 0

a = 1\quad \Rightarrow \quad v_M = 0;\quad v_m = v_0

a > 1\quad \Rightarrow \quad v_M > 0;\quad v_m > 0

b )

Hier gilt die Vereinfachung:

M = m

elastischer-stos-vektoren-addition

Die Vektoren v_m und v_M addieren sich zu v_0. Im dargestellen Dreieck gilt der Cosinussatz:

a^2 = b^2 +c^2 -2bc \cdot \cos \vartheta

An die Aufgabenstellung angepasst:

v_m ^2 = v_0 ^2 +v_M ^2 -2 \cdot v_0 \cdot v_M \cdot \cos \vartheta

Wir nutzen nun wie schon in Teilaufgabe a) den Energieerhaltungssatz:

E_{kin} = \frac{m} {2} \cdot v^2

\frac{m} {2} \cdot v_0^2 = \frac{m} {2} \cdot v_m^2 +\frac{m} {2} \cdot v_M^2

Wir dividieren durch m/2 und stellen um:

v_0^2 = v_m^2 +v_M^2 \quad \Rightarrow \quad v_m^2 = v_0^2 -v_M^2

Einsetzen in den Cosinussatz:

v_0^2 -v_M^2 = v_0 ^2 +v_M^2 -2 \cdot v_0 \cdot v_M \cdot \cos \vartheta

0 = 2 \cdot v_M^2 -2 \cdot v_0 \cdot v_M \cdot \cos \vartheta \quad |:2 \cdot v_M

0 = v_M -v_0 \cdot \cos \vartheta \quad \Rightarrow \quad v_M = v_0 \cdot \cos \vartheta

Nun kann noch die Geschwindigkeit v_m berechnet werden:

v_m^2 = v_0^2 -v_M^2 = v_0^2 -v_0 ^2 \cdot \cos ^2 \vartheta = v_0^2 \left( {1-\cos ^2 \vartheta } \right) = v_0^2 \sin ^2 \vartheta

v_m = v_0 \cdot \sin \vartheta

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