04.1 – Elastischer Stoß

Ein Körper der Masse M und der Geschwindigkeit v0 stößt vollkommen elastisch auf den Körper der Masse m.

  1. Der Stoß sei als zentral anzunehmen. Berechnen Sie die Geschwindigkeiten vM und vm der beiden Körper nach dem Stoß. Setzen Sie M = a · m und diskutieren Sie die Fälle a < 1, a = 1 und a > 1
  2. Der Stoß sei nun nicht mehr zentral. Berechnen Sie die Geschwindigkeit v der Masse M als Funktion des Streuwinkels θ. Setzen Sie hier zur Vereinfachung M = m.

Lösung

a )

Wir nutzen zunächst den Impulserhaltungssatz und setzen die in der Aufgabenstellung gegebene Bedingung M = am ein:

<br /> p = m \cdot v<br />

<br /> M \cdot v_0 = M \cdot v_M +m \cdot v_m \quad |M = a \cdot m<br />

<br /> a \cdot m \cdot v_0 = a \cdot m \cdot v_M +m \cdot v_m \quad |:m<br />

<br /> a \cdot v_0 = a \cdot v_M +v_m<br />

Nun fahren wir mit dem Energieerhaltungssatz fort:

<br /> E_{kin} = \frac{1}<br /> {2}m \cdot v^2<br />

<br /> \frac{1}<br /> {2}M \cdot v_0^2 = \frac{1}<br /> {2}M \cdot v_M^2 +\frac{1}<br /> {2}m \cdot v_m^2 \quad |M = a \cdot m<br />

<br /> \frac{1}<br /> {2}a \cdot m \cdot v_0^2 = \frac{1}<br /> {2}a \cdot m \cdot v_M^2 +\frac{1}<br /> {2}m \cdot v_m^2 \quad | \cdot 2<br />

<br /> a \cdot m \cdot v_0^2 = a \cdot m \cdot v_M^2 +m \cdot v_m^2 \quad |:m<br />

<br /> a \cdot v_0^2 = a \cdot v_M^2 +v_m^2<br />

v0 ist eine gegebene Größe, daher haben wir nun zwei Gleichugen mit zwei Unbekannten. Dieses Gleichungssystem lösen wir, indem wir die Gleichung von der Impulserhaltung nach vM umstellen und in die Gleichung der Energieerhaltung einsetzen:

<br /> a \cdot v_0 = a \cdot v_M +v_m<br />

<br /> a \cdot v_M = a \cdot v_0 -v_m \quad |:a<br />

<br /> v_M = v_0 -\frac{{v_m }}<br /> {a}<br />

einsetzen:

<br /> a \cdot v_0^2 = a \cdot \left( {v_0 -\frac{{v_m }}<br /> {a}} \right)^2 +v_m^2<br />

<br /> a \cdot v_0^2 = a \cdot \left( {v_0^2 -2 \cdot v_0 \cdot \frac{{v_m }}<br /> {a}+\left( {\frac{{v_m }}<br /> {a}} \right)^2 } \right)+v_m^2 \quad |:a<br />

<br /> v_0^2 = v_0^2 -2 \cdot v_0 \cdot \frac{{v_m }}<br /> {a}+\left( {\frac{{v_m }}<br /> {a}} \right)^2 +\frac{{v_m^2 }}<br /> {a}<br />

<br /> 0 = \frac{{v_m^2 }}<br /> {a}-2 \cdot v_0 \cdot \frac{{v_m }}<br /> {a}+\frac{{v_m^2 }}<br /> {{a^2 }}\quad | \cdot a<br />

<br /> 0 = v_m^2 -2 \cdot v_0 \cdot v_m +\frac{{v_m^2 }}<br /> {a}<br />

<br /> 0 = v_m \cdot \left( {v_m -2 \cdot v_0 +\frac{{v_m }}<br /> {a}} \right)<br />

<br /> v_{m_1 } = 0<br />

<br /> 0 = v_{m_2 } -2 \cdot v_0 +\frac{{v_{m_2 } }}<br /> {a}<br />

<br /> 2 \cdot v_0 = v_{m_2 } \cdot \left( {1+\frac{1}<br /> {a}} \right)<br />

<br /> v_{m_2 } = \frac{{2 \cdot v_0 }}<br /> {{1+\frac{1}<br /> {a}}} = \frac{{2 \cdot v_0 }}<br /> {{\frac{{a+1}}<br /> {a}}} = \frac{{2 \cdot v_0 \cdot a}}<br /> {{a+1}}<br />

Dies setzen wir in die Gleichung der Impulserhaltung ein, um vM zu erhalten:

<br /> v_M = v_0 -\frac{{\frac{{2 \cdot v_0 \cdot a}}<br /> {{a+1}}}}<br /> {a} = v_0 -\frac{{2 \cdot v_0 }}<br /> {{a+1}} = v_0 \cdot \left( {1-\frac{2}<br /> {{a+1}}} \right)<br />

Als letztes betrachten wir noch die verschiedenen Möglichkeiten für a und die Auswirkungen auf vm und vM:

<br /> a < 1\quad \Rightarrow \quad v_M < 0;\quad v_m > 0<br />

<br /> a = 1\quad \Rightarrow \quad v_M = 0;\quad v_m = v_0<br />

<br /> a > 1\quad \Rightarrow \quad v_M > 0;\quad v_m > 0<br />

b )

Hier gilt die Vereinfachung:

<br /> M = m<br />

Die Vektoren vm und vM addieren sich zu v0. Im dargestellen Dreieck gilt der Cosinussatz:

<br /> a^2 = b^2 +c^2 -2bc \cdot \cos \vartheta<br />

An die Aufgabenstellung angepasst:

<br /> v_m ^2 = v_0 ^2 +v_M ^2 -2 \cdot v_0 \cdot v_M \cdot \cos \vartheta<br />

Wir nutzen nun wie schon in Teilaufgabe a) den Energieerhaltungssatz:

<br /> E_{kin} = \frac{m}<br /> {2} \cdot v^2<br />

<br /> \frac{m}<br /> {2} \cdot v_0^2 = \frac{m}<br /> {2} \cdot v_m^2 +\frac{m}<br /> {2} \cdot v_M^2<br />

Wir dividieren durch m/2 und stellen um:

<br /> v_0^2 = v_m^2 +v_M^2 \quad \Rightarrow \quad v_m^2 = v_0^2 -v_M^2<br />

Einsetzen in den Cosinussatz:

<br /> v_0^2 -v_M^2 = v_0 ^2 +v_M^2 -2 \cdot v_0 \cdot v_M \cdot \cos \vartheta<br />

<br /> 0 = 2 \cdot v_M^2 -2 \cdot v_0 \cdot v_M \cdot \cos \vartheta \quad |:2 \cdot v_M<br />

<br /> 0 = v_M -v_0 \cdot \cos \vartheta \quad \Rightarrow \quad v_M = v_0 \cdot \cos \vartheta<br />

Nun kann noch die Geschwindigkeit vm berechnet werden:

<br /> v_m^2 = v_0^2 -v_M^2 = v_0^2 -v_0 ^2 \cdot \cos ^2 \vartheta = v_0^2 \left( {1-\cos ^2 \vartheta } \right) = v_0^2 \sin ^2 \vartheta<br />

<br /> v_m = v_0 \cdot \sin \vartheta<br />

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