04.2 – Unelastischer Stoß einer Gewehrkugel

 

Eine Gewehrkugel der Masse m_1 = 10g trifft von unten zentral auf einen Holzklotz der Masse m_2 = 1kg. Die Kugel bleibt im Holz stecken. Wie hoch wird der Holzklotz geschleudert, wenn die Geschwindigkeit der Kugel beim Aufprall v = 340m/s betrug?

Lösung

Wir nutzen hier zunächst den Impulserhaltungssatz um die Geschwindigkeit der Holzblock-Kugel-Kombination zu ermitteln:

p = m \cdot v

m_1 \cdot v_1 = \left( {m_1 +m_2 } \right) \cdot v_2 \quad \Rightarrow \quad v_2 = \frac{{m_1 \cdot v_1 }} {{m_1 +m_2 }}

Nun stellen wir die Differentialgleichung der Bewegung der Holzblock-Kugel-Kombination auf:

F = m \cdot a\quad \Rightarrow \quad -m \cdot g = m \cdot a\quad \Rightarrow \quad -m \cdot g = m \cdot \ddot z\quad \Rightarrow \quad -g = \ddot z

Wir integrieren zwei Mal um die Funktion z\left(t\right) zu erhalten:

\dot z = -g \cdot t+C_1

z = -\frac{g} {2} \cdot t^2 +C_1 \cdot t+C_2

Mit Hilfe der Rahmenbedingungen ermitteln wir die Konstanten:

z\left( 0 \right) = 0\quad \Rightarrow \quad C_2 = 0

\dot z\left( 0 \right) = v_2 \quad \Rightarrow \quad C_1 = v_2

\to \:z\left( t \right) = -\frac{g} {2} \cdot t^2 +v_2 \cdot t

Es soll die maximale Höhe bestimmt werden, also das Maximum der Funktion. Als notwendige Bedingung setzen wir die erste Ableitung gleich null:

\dot z = 0\quad \Rightarrow \quad -g \cdot t+v_2 = 0\quad \Rightarrow \quad t = \frac{{v_2 }} {g}

Als hinreichende Bedingung setzen wir in die zweite Ableitung ein:

\ddot z\left( t \right) = -g\quad \Rightarrow \quad \ddot z\left( {\frac{{v_2 }} {g}} \right) = -g\:\: < 0 \to \max

Um den Funktionswert des Maximums zu erhalten, setzen wir in die Funktion z\left(t\right) ein:

z\left( t \right) = -\frac{g} {2} \cdot t^2 +v_2 \cdot t\quad \Rightarrow \quad z\left( {\frac{{v_2 }} {g}} \right) = -\frac{g} {2} \cdot \left( {\frac{{v_2 }} {g}} \right)^2 +v_2 \cdot \frac{{v_2 }} {g}

Zuletzt setzen wir noch das mit dem Impulserhaltungssatz erhaltene Ergebnis für v_2 ein und berechnen das Ergebnis:

z\left( {\frac{{v_2 }} {g}} \right) = -\frac{g} {2} \cdot \left( {\frac{{\frac{{m_1 \cdot v_1 }} {{m_1 +m_2 }}}} {g}} \right)^2 +\frac{{m_1 \cdot v_1 }} {{m_1 +m_2 }} \cdot \frac{{\frac{{m_1 \cdot v_1 }} {{m_1 +m_2 }}}} {g}

= -\frac{g} {2} \cdot \left( {\frac{{m_1 \cdot v_1 }} {{\left( {m_1 +m_2 } \right) \cdot g}}} \right)^2 +\frac{{m_1 \cdot v_1 }} {{m_1 +m_2 }} \cdot \frac{{m_1 \cdot v_1 }} {{\left( {m_1 +m_2 } \right) \cdot g}}

z_{max} = -\frac{g} {2} \cdot \left( {\frac{{0,01kg \cdot 340\frac{m} {s}}} {{1,01kg \cdot g}}} \right)^2 +\frac{{0,01kg \cdot 340\frac{m} {s}}} {{1,01kg}} \cdot \frac{{0,01kg \cdot 340\frac{m} {s}}} {{1,01kg \cdot g}} = 57,78cm

Ein anderer möglicher Ansatz ist, die kinetische Energie der Holzklotz-Kugel-Kombination mit der potentiellen Energie gleichzusetzen und daraus die Höhe zu ermitteln:

E_{kin} = E_{pot}

\frac{{m_1 +m_2 }} {2} \cdot v_2 ^2 = \left( {m_1 +m_2 } \right) \cdot g \cdot h

\frac{{m_1 +m_2 }} {2} \cdot \left( {\frac{{m_1 \cdot v_1 }} {{m_1 +m_2 }}} \right)^2 = \left( {m_1 +m_2 } \right) \cdot g \cdot h

h = \frac{{\frac{{m_1 +m_2 }} {2} \cdot \left( {\frac{{m_1 \cdot v_1 }} {{m_1 +m_2 }}} \right)^2 }} {{\left( {m_1 +m_2 } \right) \cdot g}} = \frac{{\frac{{1,01kg}} {2} \cdot \left( {\frac{{0,01kg \cdot 340\frac{m} {s}}} {{1,01kg}}} \right)^2 }} {{1,01kg \cdot g}} = 57,78cm

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6 Kommentare zu “04.2 – Unelastischer Stoß einer Gewehrkugel”

Toni P
06. 07. 10 at 11:27 am

Kann ich den Rechenweg auch für eines unelastischen Stoß zwischen einem Bahn-Radsatz und einem metallischen und festen Anschlag anwenden? Mein Problem ist, dass ich für die Konstruktion keine Geschwindigkeit annehmen kann und auch kein sinnvolles Gewicht.
Wie komme ich von der kinetischen Energie des rollenden Radsatzes zu einer Bremsbelastung durch den Bremsstoß? Diese Belastung muss vom System aufgenommen werden können.

Danke

admin
12. 07. 10 at 4:59 pm

Ohne die Geschwindigkeit zu kennen, kann man doch auch die kinetische Energie des Radsatzes gar nicht bestimmen.
Ansonsten: Ja, der beschriebene Rechenweg kann für jede Art von unelastischem Stoß benutzt werden.

Manfred Kehrer
29. 09. 10 at 8:54 am

Hier wurden meiner Ansicht nach die Annahmen eines elastischen Stosses (Erhaltung der kinetischen Energie) getroffen.

Bei einem unelastischen Stoss müsste man noch der Tatsache Rechnung tragen, dass Teile der kinetischen Energie nach dem Stoss in Verformungsenergie, Erwärmung an den Stosspunkten, akustische Energie (Knall bei Ausprall) vorliegen.

Grüße,
Manfred

admin
27. 10. 10 at 9:00 am

Die durch die getroffenen Annahmen entstehenden Abweichungen sind sicherlich nicht besonders groß. Da man die Geschwindigkeit der Gewehrkugel auch nicht beliebig genau bestimmen kann, spielen die angesprochenen Einflüsse hier wohl keine große Rolle.

Nils
14. 03. 11 at 12:33 am

Hey,

ich habe eine ähnliche Aufgabe, mit der ich nicht weiterkomme, kannst du mir sagen, ob ich die durch Umstellen deiner Rechnung auch so rechnen kann?

Mit einem Luftgewehr schießt man auf bifilar aufgehängtes Brett von 109g(Länge der Aufhängefäden je 238cm). Die Auslenkung durch den Stoß beträgt 28cm. berechne die Geschwindigkeit des Geschosses von 0.55g Masse.

Vielleicht kannst du mir ja helfen, MfG Nils

admin
31. 03. 11 at 2:26 pm

Ja, das kannst du auch damit berechnen. Hier noch eine andere Aufgabe, die dir weiterhelfen könnte:

http://me-lrt.de/83-pendel-stost-gegen-feder

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