04.3 – Trägheitsmomente

 

Berechnen Sie die Trägheitsmomente folgender Körper

  1. dünner Stab (Masse m, Länge l, homogene Dichte \rho) um die Achsen I und II
    Animationen:
    Achse I
    Achse II
  2. dünne Kreisscheibe (Radius R, Masse M, homogene Dichte \rho) um die Achsen I und II
    Animationen:
    Achse I
    Achse II
  3. Kugel (Radius R, Masse M, homogene Dichte \rho), Rotationsache durch den Mittelpunkt der Kugel.

Lösung

Das Trägheitsmoment beschreibt die Trägheit eines starren Körpers gegenüber einer Änderung seiner Rotationsbewegung. Es ist eine Eigenschaft eines jeden Körpers, wird allerdings immer bezüglich einer bestimmten Achse angegeben. Hierbei ist die Massenverteilung wichtig. Je weiter die Masse des Körpers von der Drehachse entfernt ist, desto größer ist das Trägheitsmoment. Das liegt daran, dass ein Masseteilchen, das weiter von der Drehachse entfernt ist, einen weiteren Weg zurücklegen muss, um ein mal vollständig um die Achse zu rotieren.

Das Trägheitsmoment ist die Summe der Produkte aller Masseteilchen mit dem Quadrat ihrer Entfernung zur Drehachse:

J = \sum\limits_i {m_i } r_i^2

Dargestellt als Integral über das Volumen wird dies zu:

J = \int_V {r^2 } \rho \left( {\vec r} \right)\:{\text{d}}V

In dieser Aufgabe ist die Dichte homogen, daher kann sie vor das Integral gezogen werden:

J = \rho \cdot \int_V {r^2 } \:{\text{d}}V

a I )

Da die Länge des Stabes viel größer als die Dicke und Breite ist, kann wie folgt vereinfacht werden:

J = \rho \cdot \int\limits_{-\frac{l} {2}}^{\frac{l} {2}} {A \cdot x^2 \cdot } \:{\text{d}}x

Die Querschnittsfläche A ist konstant und wird vor das Integral gezogen:

J = \rho \cdot A \cdot \int\limits_{-\frac{l} {2}}^{\frac{l} {2}} {x^2 \cdot } \:{\text{d}}x = \rho \cdot A \cdot \left[ {\frac{{x^3 }} {3}} \right]_{-\frac{l} {2}}^{\frac{l} {2}} = \rho \cdot A \cdot \left( {\frac{{\left( {\frac{l} {2}} \right)^3 }} {3}+\frac{{\left( {\frac{l} {2}} \right)^3 }} {3}} \right) = \rho \cdot A \cdot \frac{{\frac{{l^3 }} {4}}} {3} = \rho \cdot A \cdot \frac{{l^3 }} {{12}}

Da für die Masse des Körpers gilt:

m = \rho \cdot A \cdot l

vereinfacht sich das Ergebnis zu:

J = m \cdot \frac{{l^2 }} {{12}}

a II )

Es gilt die gleiche Vereinfachung wie bei aI), da es sich um den gleichen Stab handelt. Allerdings ist nun die Drehachse am Ende des Stabes, daher ändern sich die Grenzen des Integrals:

J = \rho \cdot \int\limits_0^l {A \cdot x^2 \cdot } \:{\text{d}}x

Das A kann wieder vorgezogen werden, anschließend wird das Integral gelöst:

J = \rho \cdot A \cdot \int\limits_0^l {x^2 \cdot } \:{\text{d}}x = \rho \cdot A \cdot \left[ {\frac{{x^3 }} {3}} \right]_0^l = \rho \cdot A \cdot \frac{{l^3 }} {3}

Mit m = \rho \cdot A \cdot l ergibt sich schließlich:

J = m \cdot \frac{{l^2 }} {3}

b I )

Wir beginnen wieder mit der Formel:

J = \rho \cdot \int_V {r^2 } \:{\text{d}}V

Das Volumen eines Zylinders ist das Produkt aus Grundfläche und Höhe:

V = G \cdot h

Für die kreisförmige Grundfläche können wir schreiben:

G = \pi \cdot r^2 \quad \Rightarrow \quad V = \pi \cdot r^2 \cdot h

Wir leiten nun V nach r ab, um das Volumen in Abhängigkeit von dr zu erhalten:

\frac{{dV}} {{dr}} = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h\quad \Rightarrow \quad {\text{d}}V = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h \cdot {\text{d}}r

Dies setzen wir in das Ausgangsintegral ein:

J = \rho \cdot \int_V {r^2 } \:{\text{d}}V = \rho \cdot \int\limits_0^r {x^2 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x \cdot h \cdot {\text{d}}x}

Wir ziehen die Konstanten vor das Integral und lösen auf:

J = \rho \cdot 2\pi \cdot h \cdot \int\limits_0^r {x^3 \cdot {\text{d}}x} = \rho \cdot 2\pi \cdot h \cdot \left[ {\frac{{x^4 }} {4}} \right]_0^r = \rho \cdot 2\pi \cdot h \cdot \frac{{r^4 }} {4} = \rho \cdot \pi \cdot h \cdot \frac{{r^4 }} {2}

Die Masse des Zylinders ist das Produkt aus Volumen und Dichte. Wir können also schreiben:

J = m \cdot \frac{{r^2 }} {2}

b II )

Aufgrund der Symmetrie reicht es in dieser Aufgabe, wenn wir nur ein Viertel der Kreisscheibe betrachten und das berechnete Trägheitsmoment mit 4 multiplizieren:

viertel-scheibe-tragheitsmoment

Ein Problem wird in dieser Abbildung deutlich:

viertel-scheibe-radius-dicke-unterschied

Die Radien r_1 und r_2 sind nicht gleich. Für eine genaue Rechnung würde dies eine Rolle spielen, wir nehmen aber einfach an, dass die Kreisscheibe sehr dünn ist und somit r_1 ungefähr gleich r_2 ist. Wir setzen r_1=r_2.

Es stellt sich nun das Problem, dass wir nicht einfach die Formel

J = \rho \cdot \int_V {r^2 } \:{\text{d}}V

benutzen dürfen. Dies wird an der folgenden Abbildung deutlich:

abstand-massenelement-drehachse

Die Entfernung des Massepunktes von der Drehachse ist hier nicht r, sondern a. Wenn r mit der x-Achse den Winkel \phi einschließt, dann gilt für a:

a = r \cdot \sin \phi

Die zu benutzende Formel lautet daher:

J = \rho \cdot \int_V {a^2 } \:{\text{d}}V = \rho \cdot \int_V {r^2 \cdot \sin ^2 \phi } \:{\text{d}}V

Nun brauchen wir nur noch das Volumenintegral. Es bietet sich ein Dreifachintegral über die Höhe (bzw Dicke) h der Kreisscheibe, den Winkel \phi und den Radius r. Da wir uns somit im Zylinderkoordinatensystem befinden, gilt:

V = \int\limits_h^{} {\int\limits_\phi ^{} {\int\limits_r^{} {{\text{d}}V} } } = \int\limits_h^{} {\int\limits_\phi ^{} {\int\limits_r^{} {{\text{d}}r \cdot {\text{d}}\phi \cdot {\text{d}}h \cdot \frac{{\partial x,\partial y,\partial z}} {{\partial r,\partial \phi ,\partial h}}} } } = \int\limits_h^{} {\int\limits_\phi ^{} {\int\limits_r^{} {r \cdot {\text{d}}r \cdot {\text{d}}\phi \cdot {\text{d}}h} } }

(Zur Berechnung der Funktionaldeterminante siehe diesen Artikel)

Dieses Volumenintegral setzen wir nun in die Formel für das Trägheitsmoment ein:

J = \rho \cdot \int_V {r^2 \cdot \sin ^2 \phi } \:{\text{d}}V = \rho \cdot \int\limits_h^{} {\int\limits_\phi ^{} {\int\limits_r^{} {r^2 \cdot \sin ^2 \phi \cdot r \cdot {\text{d}}r \cdot {\text{d}}\phi \cdot {\text{d}}h} } }

= \rho \cdot 4 \cdot \int\limits_0^H {\int\limits_0^{\frac{\pi } {2}} {\int\limits_0^R {r^3 \cdot \sin ^2 \phi \cdot {\text{d}}r \cdot {\text{d}}\phi \cdot {\text{d}}h} } }

Die 4 vor dem Integral entsteht dadurch, dass das Integral nur für ein Viertel des Volumens gilt und somit noch mit 4 multipliziert werden muss.

Nun lösen wir das Integral:

J = \rho \cdot 4 \cdot \int\limits_0^H {\int\limits_0^{\frac{\pi } {2}} {\int\limits_0^R {r^3 \cdot \sin ^2 \phi \cdot {\text{d}}r \cdot {\text{d}}\phi \cdot {\text{d}}h} } } = \rho \cdot 4 \cdot \int\limits_0^H {\int\limits_0^{\frac{\pi } {2}} {\sin ^2 \phi \cdot {\text{d}}\phi \cdot {\text{d}}h \cdot \frac{{R^4 }} {4}} }

= \rho \cdot 4 \cdot \frac{{R^4 }} {4} \cdot \int\limits_0^H {{\text{d}}h \cdot \int\limits_0^{\frac{\pi } {2}} {\sin ^2 \phi \cdot {\text{d}}\phi } } = \rho \cdot R^4 \cdot \int\limits_0^H {{\text{d}}h \cdot \left[ {\frac{1} {2}\left( {\phi -\cos \phi \cdot \sin \phi } \right)} \right]} _0^{\frac{\pi } {2}}

= \rho \cdot R^4 \cdot \int\limits_0^H {{\text{d}}h} \cdot \left( {\frac{1} {2}\left( {\frac{\pi } {2}-\cos \frac{\pi } {2} \cdot \sin \frac{\pi } {2}} \right)-\frac{1} {2}\left( {0-\cos 0 \cdot \sin 0} \right)} \right)

= \rho \cdot R^4 \cdot \int\limits_0^H {{\text{d}}h} \cdot \left( {\frac{1} {2}\left( {\frac{\pi } {2}-0 \cdot 1} \right)-\frac{1} {2}\left( {0-1 \cdot 0} \right)} \right) = \rho \cdot R^4 \cdot \int\limits_0^H {{\text{d}}h} \cdot \frac{\pi } {4} = \rho \cdot \frac{\pi } {4}R^4 \cdot h

Die Masse der Kreisscheibe ist:

m = V \cdot \rho

Das Volumen (wie bereits in der Teilaufgabe zuvor benutzt):

V = G \cdot h = \pi \cdot R^2 \cdot h\quad \Rightarrow \quad m = \pi \cdot R^2 \cdot h \cdot \rho

In das Trägheitsmoment eingesetzt:

J = \rho \cdot \frac{\pi } {4}R^4 \cdot h = m \cdot \frac{{R^2 }} {4}

c )

Das Trägheitsmoment der Kugel bezüglich einer Achse durch ihren Mittelpunkt berechnet sich ähnlich wie das der Kreisscheibe in Aufgabe bII).

Wir betrachten hier aufgrund der Symmetrie nur eine Achtelkugel. Zuerst brauchen wir wieder den Abstand eines Masseteilchens von der Drehachse:

tragheitsmoment-kugel-achtel-ausschnitt

Der Abstand a ist unabhängig von \theta, es gilt genau wie bei der Kreisscheibe:

a = r \cdot \sin \phi

Hieraus ergibt sich für das Volumen:

V = \int\limits_r^{} {\int\limits_\vartheta ^{} {\int\limits_\phi ^{} {{\text{d}}V} } } = \int\limits_r^{} {\int\limits_\vartheta ^{} {\int\limits_\phi ^{} {{\text{d}}\phi \cdot {\text{d}}\vartheta \cdot {\text{d}}r \cdot \frac{{\partial x,\partial y,\partial z}} {{\partial r,\partial \vartheta ,\partial \phi }}} } } = \int\limits_r^{} {\int\limits_\vartheta ^{} {\int\limits_\phi ^{} {r^2 \sin \vartheta \cdot {\text{d}}\phi \cdot {\text{d}}\vartheta \cdot {\text{d}}r} } }

In die Formel für das Trägheitsmoment eingesetzt:

J = \rho \cdot \int_V {r^2 \cdot \sin ^2 \phi } \:{\text{d}}V = \rho \cdot \int\limits_r^{} {\int\limits_\vartheta ^{} {\int\limits_\phi ^{} {r^2 \cdot \sin ^2 \phi \cdot r^2 \cdot \sin \vartheta \cdot {\text{d}}\phi \cdot {\text{d}}\vartheta \cdot {\text{d}}r} } }

= \rho \cdot 8 \cdot \int\limits_0^R {\int\limits_0^{\frac{\pi } {2}} {\int\limits_0^{\frac{\pi } {2}} {r^4 \cdot \sin ^3 \phi \cdot {\text{d}}\phi \cdot {\text{d}}\vartheta \cdot {\text{d}}r} } }

Das Integral muss nur noch gelöst werden:

J = \rho \cdot 8 \cdot \int\limits_0^R {\int\limits_0^{\frac{\pi } {2}} {\int\limits_0^{\frac{\pi } {2}} {r^4 \cdot \sin ^3 \phi \cdot {\text{d}}\phi \cdot {\text{d}}\vartheta \cdot {\text{d}}r} } } = \rho \cdot 8 \cdot \int\limits_0^R {\int\limits_0^{\frac{\pi } {2}} {r^4 \cdot {\text{d}}\vartheta \cdot {\text{d}}r \cdot \int\limits_0^{\frac{\pi } {2}} {\sin ^3 \phi \cdot {\text{d}}\phi } } }

= \rho \cdot 8 \cdot \int\limits_0^R {\int\limits_0^{\frac{\pi } {2}} {r^4 \cdot {\text{d}}\vartheta \cdot {\text{d}}r} } \cdot \left[ {\frac{1} {{12}}\left( {\cos \left( {3 \cdot \phi } \right)-9 \cdot \cos \phi } \right)} \right]_0^{\frac{\pi } {2}}

= \rho \cdot 8 \cdot \int\limits_0^R {\int\limits_0^{\frac{\pi } {2}} {r^4 \cdot {\text{d}}\vartheta \cdot {\text{d}}r} } \cdot \left( {\frac{1} {{12}}\left( {\cos \left( {3 \cdot \frac{\pi } {2}} \right)-9 \cdot \cos \frac{\pi } {2}} \right)-\frac{1} {{12}}\left( {\cos \left( {3 \cdot 0} \right)-9 \cdot \cos 0} \right)} \right)

= \rho \cdot 8 \cdot \int\limits_0^R {\int\limits_0^{\frac{\pi } {2}} {r^4 \cdot {\text{d}}\vartheta \cdot {\text{d}}r} } \cdot \left( {0+\frac{8} {{12}}} \right) = \rho \cdot 8 \cdot \frac{2} {3} \cdot \int\limits_0^R {r^4 {\text{d}}r} \cdot \frac{\pi } {2} = \rho \cdot \frac{4} {3} \cdot \pi \cdot \frac{{2 \cdot R^5 }} {5}

Die Masse einer homogenen Vollkugel ist:

m = \rho \cdot V = \rho \cdot \frac{4} {3}\pi R^3

In das Ergebnis für das Trägheitsmoment eingesetzt:

J = \rho \cdot \frac{4} {3} \cdot \pi \cdot \frac{{2R^5 }} {5} = m \cdot \frac{{2R^2 }} {5}