05.1 – Ableitung des Drehimpulses

 

Zeigen Sie, dass die zeitliche Ableitung des Drehimpulsvektors L den Drehmomentvektor M ergibt.

Lösung

Wir beginnen mit der Definition des Drehimpulses:

\vec L = \vec r \times \vec p = \vec r \times \left( {m \cdot \vec v} \right)

Wir leiten den Drehimpuls nach der Zeit ab. Dabei müssen wir die Produktregel:

\vec L = \vec r \times \left( {m \cdot \vec v} \right)

\dot L = \dot {\vec r} \times \left( {m \cdot \vec v} \right)+\vec r \times \left( {m \cdot \vec a} \right)

Der erste Summand der Ableitung ist ein Kreuzprodukt aus der Ableitung des Ortsvektors und der Geschwindigkeit. Wie wir bereits in Aufgabe 1.2 festgestellt haben, ist die Ableitung eines Vektors konstanter Länge senkrecht zu dem ursprünglichen Vektor. Dies bedeutet, dass der abgeleitete Vektor r nun parallel zum Vektor v steht. Dadurch ist das Kreuzprodukt gleich null.

\dot L = 0+\vec r \times \left( {m \cdot \vec a} \right)\quad \Rightarrow \quad \dot L = \vec r \times \vec F = \vec M

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