05.2 – Kreisbewegung und Drehimpuls

 

Eine punktförmige Masse m rotiert an einem masselosen Faden (Länge r_0) mit konstanter Geschwindigkeit v auf einer Kreisbahn.

  1. Wie groß ist der drehimpuls L_0?
  2. Der Faden wird durchgetrennt (Zeitpunkt t_0). In welche Richtung bewegt sich die Masse?
  3. Bleibt der Drehimpuls des Systems erhalten?

Lösung

a)

\vec L = \vec r \times \vec p = \vec r \times \left( {m \cdot \vec v} \right)

b)

Die Masse bewegt sich tangential zum Kreis in Richtung des Vektors \vec v.

c)

Der Drehimpuls des Systems bleibt erhalten. Um dies nachzuvollziehen, veranschaulichen wir uns das System im Zustand des nicht durchgetrennten Fadens:

\vec L = \vec r_0 \times \vec p

Wenn der Faden durchtrennt wird, fliegt die Massse m in Richtung des Vektors \vec p weiter. Es ergibt sich somit in Abhängigkeit von der Zeit ein anderer Vektor \vec r, dessen Betrag nicht gleich bleibt:

masse-kreisbewegung-impuls-vektor

\vec L = \vec r_1 \times \vec p

Der Vektor \vec r ergibt sich dabei zu:

\vec r_1 = \vec r_0 +\vec r ^{\prime}

Für den neuen Drehimpuls können wir schreiben:

\vec L = \left( {\vec r_0 +\vec r ^{\prime}} \right) \times \vec p

Durch Ausmultiplizieren erhält man:

\vec L = \vec r_0 \times \vec p+\vec r ^{\prime}\times \vec p

Da der Vektor \vec r^{\prime} parallel zum Vektor \vec p ist ergibt sich für sein Kreuzprodukt 0. Übrig bleibt der erste Summand:

\vec L = \vec r_0 \times \vec p

Dieser ist identisch mit dem vorigen System, als die Schnur noch nicht durchtrennt war. Somit ist der Drehimpuls erhalten geblieben.

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