05.3 – Pirouette einer Eiskunstläuferin

 

Eine Eiskunstläuferin dreht mit ausgestreckten Armen (Zustand 1, Trägheitsmoment J_1) eine Pirouette mit der Winkelgeschwindigkeit \omega_1. Durch Anziehen der Arme an den Körper geht Sie in den Zustand 2 über (Trägheitsmoment J_2).

  1. Nähern Sie die Eiskunstläuferin an durch einen Zylinder mit dem Radius R=15 cm und Masse M_K=50 kg. Die Arme werden genähert durch Stäbe Länge l=80 cm und Masse M_A=5 kg.
    Schätzen Sie das Trägheitsmoment J_1 ab. Wie groß ist bei komplett angelegten Armen das Trägheitsmoment J_2?
  2. Die Winkelgeschwindigkeit im Zustand 1 ist \omega_1=1 Hz. Berechnen Sie die neue Winkelgeschwindigkeit \omega_2 im Zustand 2.
  3. Ändert sich die Rotationsenergie beim Übergang vom Zustand 1 in den Zustand 2?

Lösung

a )

pirouette-eiskunstlaufer-arme-ausgestreckt

Das Trägheitsmoment der gesamten Eiskunstläuferin ist die Summe des Trägheitsmomentes des Körper-Zylinders und der Trägheitsmomente der beiden Arme:

J_{ges} = J_Z +2 \cdot J_A = \frac{1} {2} \cdot m \cdot R^2 +2 \cdot J_Z

Für das Trägheitsmoment eines Armes verwenden wir das schon in Aufgabe 4.3 berechnete Trägheitsmoment eines dünnen Stabes bezüglich der Achse durch seinen Mittelpunkt:

J_{Stab} = \frac{1} {{12}} \cdot m \cdot l^2

Da in diesem Fall aber die Drehachse nicht durch den Schwerpunkt des Stabes geht, sondern durch den Mittelpunkt des Zylinders, müssen wir den Satz von Steiner anwenden:

J_{Arm} = J_{{\text{Schwerpunkt}}} +m \cdot d^2

Hierbei steht d für die Entfernung zwischen der Drehachse durch den Schwerpunkt und der neuen Drehachse. Dieser Abstand ist hier die Halbe Länge des Armes plus den halben Durchmesser des Zylinders:

abmessungen-eiskunstlaufer

d = \frac{l} {2}+R

Eingesetzt:

J_{Arm} = \frac{1} {{12}} \cdot m_{Arm} \cdot l^2 +m_{Arm} \cdot \left( {\frac{l} {2}+R} \right)^2 = m_{Arm} \cdot \left( {\frac{1} {{12}} \cdot l^2 +\frac{{l^2 }} {4}+l \cdot R+R^2 } \right)

= m_{Arm} \cdot \left( {\frac{1} {3} \cdot l^2 +l \cdot R+R^2 } \right)

In das Gesamtträgheitsmoment eingesetzt:

J_{ges} = \frac{1} {2} \cdot m_K \cdot R^2 +2 \cdot m_{Arm} \cdot \left( {\frac{1} {3} \cdot l^2 +l \cdot R+R^2 } \right)

J_{ges} = \frac{1} {2} \cdot 50kg \cdot \left( {0,15m} \right)^2 +2 \cdot 5kg \cdot \left( {\frac{1} {3} \cdot \left( {0,8m} \right)^2 +0,8m \cdot 0,15m+\left( {0,15m} \right)^2 } \right)

J_{ges} = 0,5625kg \cdot m^2 +3,558kg \cdot m^2 = 4,12kg \cdot m^2

Im Zustand 2 beträgt das Trägheitsmoment:

J_2 = \frac{1} {2}m_K \cdot R^2 = \frac{1} {2} \cdot 60kg \cdot \left( {15cm} \right)^2 = 0,675kg \cdot m^2

b )

Bei der Kreisbewegung gilt die Impulserhaltung, da sich der Drehimpuls nur ändert, wenn ein Drehmoment wirkt (wenn also eine Kraft mit einem Hebelarm angreift).

Den Energieerhaltungssatz kann man hier nicht benutzen, da sich die Rotationsenergie durch das Heranziehen der Arme ändert. Die für das Heranziehen geleistete Arbeit wird direkt in Rotationsenergie umgewandelt.

L_1 = L_2 \quad \Rightarrow \quad J_1 \cdot \omega _1 = J_2 \cdot \omega _2

\omega _2 = \frac{{J_1 \cdot \omega _1 }} {{J_2 }} = \frac{{4,12kg \cdot m^2 \cdot 1}} {{0,675kg \cdot m^2 \cdot s}} = 6,1Hz

c )

Wie bereits in der letzten Teilaufgabe erwähnt, bleibt die Rotationsenergie nicht konstant, da zum Heranziehen der Arme Arbeit geleistet wird. Es ist

\frac{{E_1 }} {{E_2 }} = \frac{{\frac{1} {2}J_1 \cdot \omega _1^2 }} {{\frac{1} {2}J_2 \cdot \omega _2^2 }} \approx \frac{1} {6}