05.4 – Trägheitsmoment eines Hohlzylinders

Berechnen Sie das Trägheitsmoment J1 eines Hohlzylinders (Innenradius R1, Außenradius R2, Masse M, homogene Dichte ρ) um seine Symmetrieachse (Mittelachse). Die Länge des Zylinders ist l. Welches Trägheitsmoment erhalten Sie für einen sehr dünnwandigen Zylinder (R1 → R2 = R)?

Lösung

Trägheitsmoment:

<br /> J = \rho \cdot \int\limits_V^{} {r^2 dV}<br />

Unter Verwendung von Zylinderkoordinaten gilt durch die Jakobideterminante:

<br /> dV = r \cdot d\phi \cdot dr \cdot dh<br />

Somit ist das Trägheitsmoment:

<br /> J = \rho \cdot \int\limits_H^{} {\int\limits_R^{} {\int\limits_\phi ^{} {r^3 \cdot d\phi \cdot dr \cdot dh} } } = \rho \cdot \int\limits_0^h {\int\limits_{R_1 }^{R_2 } {\int\limits_0^{2\pi } {r^3 \cdot d\phi \cdot dr \cdot dh} } } = \rho \cdot 2 \cdot \pi \cdot h\left[ {\frac{{r^4 }}<br /> {4}} \right]_{R_1 }^{R_2 }<br />

<br /> = \rho \cdot \pi \cdot h \cdot \frac{1}<br /> {2}\left( {R_2 ^4 -R_1 ^4 } \right)<br />

Die Masse eines Hohlzylinders ist:

<br /> M = V \cdot \rho = \rho \cdot \pi \cdot h \cdot \left( {R_2 ^2 -R_1 ^2 } \right)<br />

Dies kann man aus dem Ergebnis für das Trägheitsmoment herausziehen:

<br /> J = M \cdot \frac{1}<br /> {2}\frac{{R_2 ^4 -R_1 ^4 }}<br /> {{R_2 ^2 -R_1 ^2 }} = M \cdot \frac{1}<br /> {2}\frac{{\left( {R_2 ^2 -R_1 ^2 } \right)\left( {R_2 ^2 +R_1 ^2 } \right)}}<br /> {{R_2 ^2 -R_1 ^2 }} = \frac{1}<br /> {2} \cdot M \cdot \left( {R_2 ^2 +R_1 ^2 } \right)<br />

Für einen sehr dünnwandigen Zylinder (R1 → R2 = R) ändert sich die Formel wie folgt:

<br /> J = \frac{1}<br /> {2} \cdot M \cdot \left( {R^2 +R^2 } \right) = M \cdot R^2<br />

Ähnliche Artikel

Kommentar verfassen