05.4 – Trägheitsmoment eines Hohlzylinders

 

Berechnen Sie das Trägheitsmoment J_1 eines Hohlzylinders (Innenradius R_1, Außenradius R_2, Masse M, homogene Dichte \rho) um seine Symmetrieachse (Mittelachse). Die Länge des Zylinders ist l. Welches Trägheitsmoment erhalten Sie für einen sehr dünnwandigen Zylinder (R_1 \to R_2 = R)?

Lösung

Trägheitsmoment:

J = \rho \cdot \int\limits_V^{} {r^2 dV}

Unter Verwendung von Zylinderkoordinaten gilt durch die Jakobideterminante:

dV = r \cdot d\phi \cdot dr \cdot dh

Somit ist das Trägheitsmoment:

J = \rho \cdot \int\limits_H^{} {\int\limits_R^{} {\int\limits_\phi ^{} {r^3 \cdot d\phi \cdot dr \cdot dh} } } = \rho \cdot \int\limits_0^h {\int\limits_{R_1 }^{R_2 } {\int\limits_0^{2\pi } {r^3 \cdot d\phi \cdot dr \cdot dh} } } = \rho \cdot 2 \cdot \pi \cdot h\left[ {\frac{{r^4 }} {4}} \right]_{R_1 }^{R_2 }

= \rho \cdot \pi \cdot h \cdot \frac{1} {2}\left( {R_2 ^4 -R_1 ^4 } \right)

Die Masse eines Hohlzylinders ist:

M = V \cdot \rho = \rho \cdot \pi \cdot h \cdot \left( {R_2 ^2 -R_1 ^2 } \right)

Dies kann man aus dem Ergebnis für das Trägheitsmoment herausziehen:

J = M \cdot \frac{1} {2}\frac{{R_2 ^4 -R_1 ^4 }} {{R_2 ^2 -R_1 ^2 }} = M \cdot \frac{1} {2}\frac{{\left( {R_2 ^2 -R_1 ^2 } \right)\left( {R_2 ^2 +R_1 ^2 } \right)}} {{R_2 ^2 -R_1 ^2 }} = \frac{1} {2} \cdot M \cdot \left( {R_2 ^2 +R_1 ^2 } \right)

Für einen sehr dünnwandigen Zylinder (R_1 \to R_2 = R) ändert sich die Formel wie folgt:

J = \frac{1} {2} \cdot M \cdot \left( {R^2 +R^2 } \right) = M \cdot R^2

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