05.5 – Hohlzylinder im Looping

 

Ein Hohlzylinder rollt eine geneigte Ebene hinunter und rollt weiter durch den skizzierten Looping mit dem Radius r. Wie groß muss die Höhe H gewählt werden, damit der Hohlzylinder ohne abzustürzen durch den Looping rollt?

hohlzylinder-im-looping

Lösung

Die kinetische Energie, die der Hohlzylinder beim Hinabrollen gewinnt, ist gleich der auf dem Weg verlorenen potentiellen Energie. Wenn der Zylinder anschließend den Looping hinaufrollt, wird wieder kinetische Energie in potentielle Energie umgewandelt. Am höchsten Punkt muss aber immernoch mindestens so viel kinetische Energie übrig sein, dass der Zylinder nicht herunterfällt. Es gilt daher:

E_{StartPot} = E_{kin} +E_{LoopPot} \quad \Rightarrow \quad E_{StartPot} = E_{trans} +E_{rot} +E_{LoopPot}

m \cdot g \cdot h = \frac{1} {2}m \cdot v^2 +\frac{1} {2} \cdot J \cdot \omega ^2 +m \cdot g \cdot \left( {2r-2R} \right)\quad |\omega = \frac{v} {r}

m \cdot g \cdot h = \frac{1} {2}m \cdot v^2 +\frac{1} {2} \cdot J \cdot \frac{{v^2 }} {{r^2 }}+m \cdot g \cdot 2\left( {r-R} \right)

\Rightarrow \quad m \cdot g \cdot h = v^2 \frac{1} {2}\left( {m+\frac{J} {{r^2 }}} \right)+m \cdot g \cdot 2\left( {r-R} \right)

Nun betrachten wir den Looping. Wenn der Hohlzylinder am höchsten Punkt angekommen ist, hat sich ein Teil seiner kinetische Energie um die potentielle Energie verringert, die der Höhendifferenz im Looping entspricht.
Diese Höhendifferenz beträgt, da wir den Mittelpunkt des Zylinders betrachten, 2r-2R:

\Delta h = 2r-2R

Am höchsten Punkt muss der Zylinder noch so schnell rollen, dass die Zentrifugalkraft mindestens genau so groß ist wie die Gravitationskraft. Ansonsten würde er abstürzen.

F_Z = F_G \quad \Rightarrow \quad \frac{{m \cdot v_{oben} ^2 }} {{r-R}} = m \cdot g\quad \Rightarrow \quad v_{oben} ^2 = \left( {r-R} \right) \cdot g

Diese Geschwindigkeit setzen wir nun in der Gleichung für die Energieerhaltung ein:

m \cdot g \cdot h = v_{oben} ^2 \frac{1} {2}\left( {m+\frac{J} {{R_2 ^2 }}} \right)+m \cdot g \cdot 2\left( {r-R} \right)

\Rightarrow \quad m \cdot g \cdot h = \left( {\left( {r-R} \right) \cdot g} \right) \cdot \frac{1} {2}\left( {m+\frac{J} {{R_2 ^2 }}} \right)+m \cdot g \cdot 2\left( {r-R} \right)

m \cdot g \cdot h = \left( {\left( {r-R} \right) \cdot g} \right) \cdot \frac{1} {2}\left( {m+\frac{J} {{R_2 ^2 }}} \right)+m \cdot g \cdot 2\left( {r-R} \right)

Nach h umstellen:

m \cdot h = \left( {r-R} \right) \cdot \frac{1} {2}\left( {m+\frac{J} {{R_2 ^2 }}} \right)+m \cdot 2\left( {r-R} \right)

m \cdot h = \left( {r-R} \right) \cdot \left( {\frac{1} {2}\left( {m+\frac{J} {{R_2 ^2 }}} \right)+2 \cdot m} \right)

h = \left( {r-R} \right) \cdot \left( {\frac{1} {2}\left( {1+\frac{J} {{m \cdot R_2 ^2 }}} \right)+2} \right)

Nun setzen wir das Trägheitsmoment für J ein und vereinfachen:

h = \left( {r-R} \right) \cdot \left( {\frac{1} {2}\left( {1+\frac{{\frac{1} {2} \cdot m \cdot \left( {R_2 ^2 +R_1 ^2 } \right)}} {{m \cdot R_2 ^2 }}} \right)+2} \right)

h = \left( {r-R} \right) \cdot \left( {\frac{1} {2}\left( {1+\frac{{\left( {R_2 ^2 +R_1 ^2 } \right)}} {{2 \cdot R_2 ^2 }}} \right)+2} \right)

h = \left( {r-R} \right) \cdot \left( {\frac{1} {2}+\frac{{R_2 ^2 }} {{4 \cdot R_2 ^2 }}+\frac{{R_1 ^2 }} {{4 \cdot R_2 ^2 }}+2} \right)

h = \left( {r-R} \right) \cdot \left( {\frac{{11}} {4}+\frac{{R_1 ^2 }} {{4 \cdot R_2 ^2 }}} \right)