06.1 – Gasmasse und Molmasse, Wärmekapazität

 

Ein mit V = 10 l Heliumgas gefüllter Behälter hat bei Raumtemperatur (\theta = 20^{\circ}C) einen Druck von
p_0 = 10^7 Pa.

  1. Wie groß ist die Molmasse von Helium (in g/mol)?
  2. Wie groß ist die im Behälter enthaltene Gasmasse?
  3. Wie viele He Atome sind im Behälter?
  4. Berechnen Sie die Masse eines He Atoms.
  5. Berechnen Sie die spezifische Wärmekapazität C von Helium

Lösung

a )

Ein Heliummolekül besteht aus zwei Protonen und zwei Neutronen. Die Molmasse ist daher 4u = 4 g/mol.

b )

Da wir das Helium als ein ideales Gas betrachten, können wir die thermische Zustandsgleichung idealer Gase anwenden. Diese Gleichung beschreibt den Zustand des idealen Gases bezüglich der Zustandsgrößen Druck, Volumen, Temperatur und Stoffmenge:

{\text{Druck}} \cdot {\text{Volumen = Teilchenanzahl}} \cdot {\text{allgemeine Gaskonstante}} \cdot {\text{Temperatur}}

\Rightarrow \quad p \cdot V = n \cdot R_m \cdot T

Die Teilchenanzahl entspricht der gesamtmasse des Gases dividiert durch die Masse eines Gasmoleküls:

\Rightarrow \quad p \cdot V = \frac{m} {M} \cdot R_m \cdot T

Wir stellen nach m um:

\Rightarrow \quad m = \frac{{p \cdot V \cdot M}} {{R_m \cdot T}}

Werte einsetzen:

\Rightarrow \quad m = \frac{{p \cdot V \cdot M}} {{R_m \cdot T}} = \frac{{10^7 \frac{N} {{m^2 }} \cdot 0,01m^3 \cdot 4\frac{g} {{mol}}}} {{8,31\frac{J} {{mol \cdot K}} \cdot 293,15\:K}} = 164,198g

c )

Wir nutzen hier den schon in der letzten Teilaufgabe erwähnten Zusammenhang zwischen Molmasse, Gasmasse und Teilchenanzahl:

n = \frac{m} {M} = \frac{{164,198g}} {{4\frac{g} {{mol}}}} = 41,05\:mol

d )

Hier gibt es zwei Möglichkeiten zur Berechnung der Masse eines He Atoms.

Die erste ist wieder der Ansatz, der schon in den letzten beiden Teilaufgaben genutzt wurde:

n = \frac{m} {M}\quad \Rightarrow \quad m = n \cdot M = \frac{1} {{N_A }} \cdot 4\frac{g} {{mol}} = \frac{{4\frac{g} {{mol}}}} {{6,022 \cdot 10^{23} \frac{1} {{mol}}}} = 6,642 \cdot 10^{-24} g

Der andere Ansatz ist, dass das He Atom 4u wiegt, also 4 \cdot 1,66 \cdot 10^{-27} kg = 6,642 \cdot 10^{-27}kg.

e )

Die spezifische Wärmekapazität (kurz “spezifische Wärme”) ist jene Energiemenge, die man benötigt, um 1 kg eines Stoffes um 1° C zu erwärmen.

Die Formel für die spezifische Wärmekapazität ist:

c = f \cdot \frac{{R_S }} {2}

Dabei ist f die Anzahl der Freiheitsgrade und R die spezifische Gaskonstante.
Der Zusammenhant zwischen der spezifischen Gaskonstante und der allgemeinen Gaskonstante R ist:

R_S = \frac{R} {M}

Wobei M die Molmasse des Stoffes ist. Die allgemeine Gaskonstante berechnet man mit der Formel:

R = k \cdot N_A

Alles eingesetzt:

c = \frac{f} {2} \cdot \frac{{k \cdot N_A }} {M}

Die Freiheitsgrade teilen sich auf in Freiheitsgrade der Translation, Rotation und Schwingung. Für jedes Gas gibt es genau drei Freiheitsgrade der Translation. Einatomige Gase haben keine Rotationsfreiheitsgrade, bei mehratomigen Gasen können es auch bis zu drei werden. Bei niedrigen Temperaturen spielen die Freiheitsgrade der Schwingung keine Rolle. Bei hohen Temperaturen können es auch bis zu drei werden.

Im Fall des einatomigen Heliumgases haben wir also drei Freiheitsgrade. Eingesetzt:

c = \frac{f} {2} \cdot \frac{{k \cdot N_A }} {M} = \frac{3} {2} \cdot \frac{{1,38 \cdot 10^{-23} \frac{J} {K} \cdot 6,022 \cdot 10^{23} \frac{1} {{mol}}}} {{4\frac{g} {{mol}}}} = 3,116\frac{J} {{K \cdot g}}