06.2 – Temperatur und Druck von Gasen

 

Ein mit Sauerstoff gefüllter Behälter (V = 10 l) hat bei Raumtemperatur (\theta = 20^{\circ}C) einen Druck von p_0 = 0,5 \cdot 10^7 Pa.

  1. Berechnen Sie den Druck p_1, wenn die Temperatur auf \theta = 100^{\circ}C erhöht wird.
  2. Berechnen Sie die Masse eines O2 Moleküls.
  3. Welche Energie muss dem Gas für die Temperaturerhöhung von 20°C auf 100°C zugeführt werden?
  4. Der Behälter wird geöffnet. Im Behälter stellt sich der Druck auf den Umgebungsdruck (p_N = 1000 hPa, \theta = 20^{\circ}C) ein. Wie groß ist nun die im Behälter verbleibende Gasmasse?

Lösung

a )

Wir betrachten Sauerstoff als ideales Gas und benutzen wieder die Gleichung:

p \cdot V = n \cdot R \cdot T

Wir stellen nach den gleichbleibenden Größen um:

\frac{{n \cdot R }} {V} = \frac{p} {T}

Nun setzen wir den linken Teil der Gleichung mit den veränderten Bedingungen gleich. Dies ist möglich, da sich auf der linken Seite der Gleichung nur Konstanten befinden, die sich durch die Erwärmung nicht verändern.

\frac{{p_{vor} }} {{T_{vor} }} = \frac{{p_{nach} }} {{T_{nach} }}

\frac{{p_{vor} \cdot T_{nach} }} {{T_{vor} }} = p_{nach}

Einsetzen der Werte in die Gleichung:

\frac{{0,5 \cdot 10^7 Pa \cdot 373,15K}} {{293,15K}} = p_{nach} = 6,364 \cdot 10^6 Pa

b )

Die molare Masse eines Sauerstoffmoleküls beträgt M = 32u. Diese setzt sich aus der Masse zweier Sauerstoffatome zusammen. Ein Sauerstoffatom besteht dabei aus 8 Protonen und in seinem häufigsten Isotop aus 8 Neutronen. Dies ergibt in der Summe eine Massenzahl von 16u pro Atom.
Nun setzen wir für u die Definition ein und erhalten:

M = 32u\quad |u = 1,66 \cdot 10^{-27} kg

m = 5,31 \cdot 10^{-26} kg

c )

Die thermische Energie wird mit der folgenden Formel berechnet:

E = \frac{f} {2} \cdot N \cdot k \cdot T

Für die Energiedifferenz ergibt sich:

\Delta E = \frac{f} {2} \cdot N \cdot k \cdot \Delta T

Die Freiheitsgrade teilen sich auf in Freiheitsgrade der Translation, Rotation und Schwingung. Für jedes Gas gibt es genau drei Freiheitsgrade der Translation. Einatomige Gase haben keine Rotationsfreiheitsgrade, bei mehratomigen Gasen können es auch bis zu drei werden. Bei niedrigen Temperaturen spielen die Freiheitsgrade der Schwingung keine Rolle. Bei hohen Temperaturen können es auch bis zu drei werden. Das zweiatomige Molekül des Sauerstoff besitzt zwei Freiheitsgrade der Rotation, da die Rotation um die Kernverbindungsachse nur eine vernachlässigbar kleine Rotationsenergie aufnehmen kann.

Wir benötigen noch die Stoffmenge an Sauerstoffmolekülen, die bei der Temperaturerhöhung vorhanden sind, dazu wählen wir den Ansatz:

\Rightarrow \quad p \cdot V = n \cdot R \cdot T

Nach n umgestellt:

n = \frac{{p \cdot V}} {{R \cdot T}}

Hierbei ist zu beachten, dass das kleine n die Stoffmenge in mol angibt, das große N aber die Anzahl der Teilchen:

N = n \cdot N_A

Es gilt also:

\Delta E = \frac{f} {2} \cdot N \cdot k \cdot \Delta T\quad \Rightarrow \quad \Delta E = \frac{f} {2} \cdot n \cdot N_A \cdot k \cdot \Delta T

n eingesetzt:

\Delta E = \frac{f} {2} \cdot \frac{{p \cdot V}} {{R \cdot T}} \cdot N_A \cdot k \cdot \Delta T

Werte einsetzen:

\Delta E = \frac{5} {2} \cdot \frac{{0,5 \cdot 10^7 \frac{N} {{m^2 }} \cdot 0,01m^3 }} {{8,31\frac{J} {{mol \cdot K}} \cdot 293,15K}} \cdot 6,022 \cdot 10^{23} \frac{1} {{mol}} \cdot 1,38 \cdot 10^{-23} \frac{J} {K} \cdot 80K = 34,1\:kJ

d )

Wir nutzen wieder die thermische Zustandsgleichung idealer Gase:

p \cdot V = n \cdot R \cdot T

Es ist nach der Gasmasse m gefragt. Wir ersetzen daher wieder n durch m/M:

p \cdot V = \frac{m} {M} \cdot R \cdot T\quad \Rightarrow \quad m = \frac{{p \cdot V \cdot M}} {{R \cdot T}} = \frac{{10^5 \frac{N} {{m^2 }} \cdot 0,01m^3 \cdot 32\frac{g} {{mol}}}} {{8,31\frac{J} {{mol \cdot K}} \cdot 293,15K}} = 13g