Ein Wetterballon mit einer Gesamtmasse (ohne Gas) von hat ein maximales Volumen von . Er wird am Boden mit Wasserstoffgas () gefüllt.

1. Welches Volumen muss der Ballon am Boden mindestens haben, damit er steigen kann?
2. Berechnen Sie für eine Füllmenge von Wasserstoffgas am Boden das Volumen des Ballons und die Steigkraft als Funktion von der Höhe .
3. In welcher Höhe erreicht der Ballon sein maximales Volumen?

Verwenden Sie die barometrische Höhenformel für eine isotherme Atmosphäre mit ; und eine mittlere Molmasse für die Luft von .

[Gaskonstante: ; ; ]

Lösung

a )

Damit der Ballon steigen kann, muss die Auftriebskraft mindestens so groß sein wie die Gewichtskraft:

gleichsetzen:

Die benötigten Dichten sind:

Dichte von Luft:

Dichte von Wasserstoff:

Eingesetzt:

b )

Das Verhältnis zwischen Druck und Volumen ist konstant, da die Atmosphäre als isotherm angenommen wird. Dies folgt aus der Formel

Umstellen nach :

Für den Druck in der Höhe benötigen wir die barometrische Höhenformel:

Wir setzen ein und erhalten die Funktion des Volumens in Abhängigkeit von der Höhe:

Außer dem ist in dem Exponenten alles konstant, wir fassen daher zu einer neuen Konstante zusammen, so dass wir den Exponenten als Quotienten schreiben können:

Eingesetzt:

Nun bestimmen wir die Funktion der Steigkraft in Abhängigkeit von der Höhe :

Dabei gilt für das Volumen in der Höhe :

und aufgrund der Beziehung

gilt für die Dichte von Luft in der Höhe :

und für die Dichte von Wasserstoff in der Höhe :

Alles in die Funktion für die Steigkraft eingesetzt:

c )

Für das Volumen stellen wir die Funktion nach um:

Der Ballon erreicht sein maximales Volumen also in 18393,52m Höhe.