06.4 – Wetterballon und barometrische Höhenformel

 

Ein Wetterballon mit einer Gesamtmasse (ohne Gas) von M_0 = 1 kg hat ein maximales Volumen von V_{\max}=10 m^3. Er wird am Boden mit Wasserstoffgas (M_H = 2 g/mol) gefüllt.

  1. Welches Volumen muss der Ballon am Boden mindestens haben, damit er steigen kann?
  2. Berechnen Sie für eine Füllmenge von V=1m^3 Wasserstoffgas am Boden das Volumen V_B\left(h\right) des Ballons und die Steigkraft als Funktion von der Höhe h.
  3. In welcher Höhe h_1 erreicht der Ballon sein maximales Volumen?

Verwenden Sie die barometrische Höhenformel für eine isotherme Atmosphäre mit \theta = 0^{\circ}C; p_0 = 1013.25 hPa und eine mittlere Molmasse für die Luft von M_L = 29 g/mol.

[Gaskonstante: R = k \cdot N_A = 8,31 \frac{J}{mol \cdot K}; k = 1,38 \cdot 10^{-23} \frac{J}{K}; N_A = 6,022 \cdot 10^{23}]

Lösung

a )

Damit der Ballon steigen kann, muss die Auftriebskraft mindestens so groß sein wie die Gewichtskraft:

F_A = \rho _L \cdot V \cdot g

F_G = \left( {m_0 +\rho _H \cdot V} \right) \cdot g

gleichsetzen:

\rho _L \cdot V \cdot g = \left( {m_0 +\rho _H \cdot V} \right) \cdot g\quad

\Rightarrow \quad \rho _L \cdot V = m_0 +\rho _H \cdot V

\Rightarrow \quad \rho _L \cdot V-\rho _H \cdot V = m_0

\Rightarrow \quad V\left( {\rho _L -\rho _H } \right) = m_0

Die benötigten Dichten sind:

Dichte von Luft: 1,293 \frac{kg}{m^3}

Dichte von Wasserstoff: 0,0899 \frac{kg}{m^3}

Eingesetzt:

V = \frac{{m_0 }}{{\rho _L -\rho _H }} = \frac{{1kg}}{{1,293\frac{{kg}}{{m^3 }}-0,0899\frac{{kg}}{{m^3 }}}} = 0,831m^3

b )

Das Verhältnis zwischen Druck und Volumen ist konstant, da die Atmosphäre als isotherm angenommen wird. Dies folgt aus der Formel

p\left( 0 \right) \cdot V\left( 0 \right) = n \cdot R \cdot T

p\left( h \right) \cdot V\left( h \right) = n \cdot R \cdot T

\to \quad p\left( 0 \right) \cdot V\left( 0 \right) = p\left( h \right) \cdot V\left( h \right)

Umstellen nach V_h:

V\left( h \right) = \frac{{p\left( 0 \right) \cdot V\left( 0 \right) }}{{p\left( h \right)}}

Für den Druck in der Höhe h benötigen wir die barometrische Höhenformel:

p\left( h \right) = p\left( 0 \right) \cdot \exp \left( {-\frac{{\rho _L \left( 0 \right) \cdot g \cdot h}}{{p\left( 0 \right)}}} \right)

Wir setzen ein und erhalten die Funktion des Volumens in Abhängigkeit von der Höhe:

V\left( h \right) = \frac{{p\left( 0 \right) \cdot V\left( 0 \right)}}{{p\left( h \right)}} = \frac{{p\left( 0 \right) \cdot V\left( 0 \right)}}{{p\left( 0 \right) \cdot \exp \left( {-\frac{{\rho _L \left( 0 \right) \cdot g \cdot h}}{{p\left( 0 \right)}}} \right)}} = V\left( 0 \right) \cdot \exp \left( {\frac{{\rho _L \left( 0 \right) \cdot g \cdot h}}{{p\left( 0 \right)}}} \right)

Außer dem h ist in dem Exponenten alles konstant, wir fassen daher zu einer neuen Konstante h_0 zusammen, so dass wir den Exponenten als Quotienten schreiben können:

h_0 = \frac{p\left( 0 \right)}{\rho _L\left( 0 \right)\cdot g} = \frac{101325\frac{kg\cdot m}{m^2\cdot s^2}}{1,293\frac{kg}{m^3}\cdot 9,81\frac{m}{s^2}} = 7988m

Eingesetzt:

V\left( h \right) = V\left( 0 \right) \cdot \exp \left( {\frac{h}{{h_0 }}} \right)

Nun bestimmen wir die Funktion der Steigkraft in Abhängigkeit von der Höhe h:

F_S \left( h \right) = F_A \left( h \right)-F_G \left( h \right) = \rho _L \left( h \right) \cdot V\left( h \right) \cdot g-\left( {m_B +\rho _H \left( h \right) \cdot V\left( h \right)} \right) \cdot g

Dabei gilt für das Volumen in der Höhe h:

V\left( h \right) = V\left( 0 \right) \cdot \exp \left( {\frac{h}{{h_0 }}} \right)

und aufgrund der Beziehung

\rho = \frac{m}{V}\quad \quad m = const

gilt für die Dichte von Luft in der Höhe h:

\rho _L \left( h \right) = \frac{{m_L }}{{V\left( 0 \right) \cdot \exp \left( {\frac{h}{{h_0 }}} \right)}} = \rho _L \left( 0 \right) \cdot \exp \left( {-\frac{h}{{h_0 }}} \right)

und für die Dichte von Wasserstoff in der Höhe h:

\rho _H \left( h \right) = \frac{{m_H }}{{V\left( 0 \right) \cdot \exp \left( {\frac{h}{{h_0 }}} \right)}} = \rho _H \left( 0 \right) \cdot \exp \left( {-\frac{h}{{h_0 }}} \right)

Alles in die Funktion für die Steigkraft eingesetzt:

F_S \left( h \right) = \rho _L \left( h \right) \cdot V\left( h \right) \cdot g-\left( {m_B +\rho _H \left( h \right) \cdot V\left( h \right)} \right) \cdot g

F_S \left( h \right) = \rho _L \left( 0 \right) \cdot \exp \left( {-\frac{h}{{h_0 }}} \right) \cdot V\left( 0 \right) \cdot \exp \left( {\frac{h}{{h_0 }}} \right) \cdot g

-\left( {m_B +\rho _H \left( 0 \right) \cdot \exp \left( {-\frac{h}{{h_0 }}} \right) \cdot V\left( 0 \right) \cdot \exp \left( {\frac{h}{{h_0 }}} \right)} \right) \cdot g

= \rho _L \left( 0 \right) \cdot V\left( 0 \right) \cdot \exp \left( {-\frac{h}{{h_0 }}} \right) \cdot \exp \left( {\frac{h}{{h_0 }}} \right) \cdot g

-\left( {m_B +\rho _H \left( 0 \right) \cdot V\left( 0 \right) \cdot \exp \left( {-\frac{h}{{h_0 }}} \right) \cdot \exp \left( {\frac{h}{{h_0 }}} \right)} \right) \cdot g

= \rho _L \left( 0 \right) \cdot V\left( 0 \right) \cdot \exp \left( {\frac{h}{{h_0 }}-\frac{h}{{h_0 }}} \right) \cdot g-\left( {m_B +\rho _H \left( 0 \right) \cdot V\left( 0 \right) \cdot \exp \left( {\frac{h}{{h_0 }}-\frac{h}{{h_0 }}} \right)} \right) \cdot g

= \rho _L \left( 0 \right) \cdot V\left( 0 \right) \cdot g-\left( {m_B +\rho _H \left( 0 \right) \cdot V\left( 0 \right)} \right) \cdot g

= \rho _L \left( 0 \right) \cdot V\left( 0 \right) \cdot g-m_B \cdot g-\rho _H \left( 0 \right) \cdot V\left( 0 \right) \cdot g

= \left( {V\left( 0 \right) \cdot \left( {\rho _L \left( 0 \right)-\rho _H \left( 0 \right)} \right)-m_B } \right) \cdot g

= \left( {m_L -m_H -m_B } \right) \cdot g

c )

Für das Volumen V\left(h\right) = 10m^3 stellen wir die Funktion V\left(h\right) nach h um:

V\left( h \right) = V_0 \exp \left( {\frac{{\rho _0 \cdot g \cdot h}}{{p_0 }}} \right)

\frac{{V\left( h \right)}}{{V_0 }} = \exp \left( {\frac{{\rho _0 \cdot g \cdot h}}{{p_0 }}} \right)

\ln \left( {\frac{{V\left( h \right)}}{{V_0 }}} \right) = h \cdot \frac{{\rho _0 \cdot g}}{{p_0 }}

\frac{{\ln \left( {\frac{{V\left( h \right)}}{{V_0 }}} \right)}}{{\frac{{\rho _0 \cdot g}}{{p_0 }}}} = h = \frac{{\ln \left( {10} \right)}}{{\frac{{1,293\frac{{kg}}{{m^3 }} \cdot 9,81\frac{m}{{s^2 }}}}{{101325\frac{N}{{m^2 }}}}}} = 18393,52m

Der Ballon erreicht sein maximales Volumen also in 18393,52m Höhe.

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2 Kommentare zu “06.4 – Wetterballon und barometrische Höhenformel”

Servus
erstmal kompliment für die seite, hilft mir echt weiter.
hab da nen kleinen fehler entdeckt:

in der berechnung für h0 hast du in der Luftdichte nen zahlendreher und deswegen auch n falsches ergebnis, also 1293 statt 1239

gruß

Vielen Dank für den Hinweis! Ich habe den Fehler korrigiert.

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