07.1 – Trägheitsmomente und Energie von Molekülen

 

Ein Sauerstoffmolekül besteht aus zwei O-Atomen im Abstand von d = 0,13 nm. Die Masse eines O-Atoms beträgt 16u.

1u = \frac{1}{12} m\left(^{12}C\right) = 1,66 \cdot 10^{-27} kg

  1. Berechnen Sie das Trägheitsmoment eines Moleküls um eine Achse senkrecht zur Verbindungslinie der zwei Atome, die Sie als Massenpunkte betrachten können.
  2. Berechnen Sie die Rotationsenergie Erot eines O-Moleküls, wenn der Drehimpuls L = 1\hbar beträgt. (Plancksches Wirkungsquantum: \hbar = \frac{h}{{2\pi }} = 1,055 \cdot 10^{-34} Js)
  3. Vergleichen Sie diese Energie mit der thermischen Energie pro Freiheitsgrad bei Zimmertemperatur \theta = 20^{\circ}C. Wie groß ist im Mittel der Drehimpuls des O-Moleküls bei Raumtemperatur? (Boltzmann-Faktor k = 1,38 \cdot 10^{-23} J/K)
  4. Um das Trägheitsmoment (Drehachse ist nun die Verbindungslinie) abzuschätzen, nehmen Sie an, dass die jeweils acht Elektronen eine kugelförmige Massenverteilung mit dem Radius r = 0,05 nm haben (Kerne vernachlässigen). Berechnen Sie damit die Rotationsenergie des Sauerstoffmoleküls, wenn der Drehimpuls L = 1\hbar beträgt. (Masse des Elektrons: m_e = 9,109 \cdot 10^{-31} kg)
  5. Vergleichen Sie die Rotationsenergie bei Rotation um die Längsachse bei L = 1\hbar mit der thermischen Energie bei \theta = 20^{\circ}C.

Lösung

a )

Das Trägheitsmoment berechnet sich aus der Summe der Produkte aller Massepunkte mit ihrer Entfernung zur Drehachse zum Quadrat:

J = \sum {m_i \cdot r _i ^2 }

In diesem Fall haben wir zwei Massenpunkte. Ihr Abstand zur Drehachse ist die Hälfte des Atomabstandes:

rotation-sauerstoff-molekul

Das Trägheitsmoment berechnet sich daher:

J = m_{O_1 } \cdot r_1 ^2 +m_{O_2 } \cdot r_2 ^2

Die beiden Atome haben den gleichen Abstand zur Drehachse und die gleiche Masse. Daher gilt:

J = m_{O_1 } \cdot r_1 ^2 +m_{O_2 } \cdot r_2 ^2 = 2\left( {m_O \cdot r^2 } \right)

Nun setzen wir die Werte ein. Die Masse eines Sauerstoffatoms ist:

m_{O}=16u = 2,657 \cdot 10^{-26}

Der Radius ist die Hälfte des Atomabstandes:

r = \frac{d}{2} = 0,13 \cdot 10^{-9} m \cdot \frac{1}{2} = 0,065 \cdot 10^{-9}m

J = 2\left( {2,657 \cdot 10^{-26} kg \cdot \left( {0,065 \cdot 10^{-9} m} \right)^2 } \right)

= 2\left( {2,657 \cdot 10^{-26} kg \cdot ^2 4,225 \cdot 10^{-21} m^2 } \right) = 2,244 \cdot 10^{-46} kg \cdot m^2

b )

Die Rotationsenergie E_{rot} berechnet man mit der Formel:

E_{rot} = \frac{J} {2}\omega ^2

Dabei ist J das Trägheitsmoment (berechnet in Aufgabe a) und \omega die Winkelgeschwindigkeit der Drehbewegung.

Es gilt weiterhin:

\omega = \frac{L} {J}

(Winkelgeschwindigkeit = Drehimpuls durch Trägheitsmoment)
Dies entspricht der Formel für die Translationsbewegung (Geschwindigkeit = Impuls durch Masse).

Es ergibt sich:

E_{rot} = \frac{J} {2}\omega ^2 = \frac{J} {2} \cdot \left( {\frac{L} {J}} \right)^2 = \frac{1} {2} \cdot \frac{{L^2 }} {J} = \frac{{L^2 }} {{2J}}

L ist gegeben und J haben wir bereits berechnet. Wir setzen ein:

E_{rot} = \frac{{L^2 }} {{2 \cdot J}} = \frac{\hbar ^2 } {2 \cdot J} = \frac{\left( {1,055 \cdot 10^{-34} Js} \right)^2 } {2 \cdot 2,244 \cdot 10^{-46} kg \cdot m^2 } = 2,477 \cdot 10^{-23} J

Zur Einheitenbetrachtung:

\left[ {E_{rot} } \right] = \frac{{J^2 s^2 }} {{kg \cdot m^2 }} = \frac{{kg^2 \cdot m^4 s^2 }} {{s^4 \cdot kg \cdot m^2 }} = \frac{{kg \cdot m^2 }} {{s^2 }} = J

c )

Die thermische Energie wird berechnet mit der Formel:

E_{th-Gesamt} = f \cdot \frac{1} {2} \cdot k \cdot T

Hier soll die Energie pro Freiheitsgrad berechnet werden, wir teilen daher durch f:

E_{th} = \frac{{f \cdot \frac{1} {2} \cdot k \cdot T}} {f} = \frac{1} {2} \cdot k \cdot T

Die Temperatur muss hier in Kelvin eingesetzt werden. 20°C entsprechen 293,15K:

E_{th} = \frac{1} {2} \cdot k \cdot T = \frac{1} {2} \cdot 1,38 \cdot 10^{-23} \frac{J} {K} \cdot 293,15K = 2,0237 \cdot 10^{-21} J

Vergleich der beiden Energien:

\frac{E_{th}} {{E_{rot} }} = \frac{{2,0237 \cdot 10^{-21} J}} {{2,48 \cdot 10^{-23} J}} = 81,6

Die thermische Energie ist also fast 100 Mal größer als die Rotationsenergie.

Für den Drehimpuls gilt, dass sich die thermische Energie auf die Rotationsenergie, die Translationsenergie und die potenzielle Energie (Schwingungsenergie) aufteilt. Wir nehmen in diesem Fall an, dass sich das Molekül nicht fortbewegt, sondern nur rotiert. Da das Molekül bei Raumtemperatur noch nicht stark schwingt, vernachlässigen wir auch die potenzielle Energie.
Es bleibt also nur die Rotationsenergie, die nun genau so groß sein soll, wie die thermische Energie bei Raumtemperatur.

Wir setzen daher gleich und stellen nach dem Drehimpuls um:

E_{rot} = \frac{{L^2 }} {{2J}}

E_{th} = E_{rot} = \frac{{L^2 }} {{2J}}

\Leftrightarrow L = \sqrt {2 \cdot J \cdot E_{th} }

Nun müssen wir nur noch die gegebenen oder schon berechneten Werte für das Trägheitsmoment J und die thermische Energie E_{th} einsetzen:

L = \sqrt {2 \cdot J \cdot E_{th} } = \sqrt {2 \cdot 2,244 \cdot 10^{-46} kg \cdot m^2 \cdot 2,0237 \cdot 10^{-21} J}

= 9,53 \cdot 10^{-34} Js \approx 10\hbar

Zur Einheitenbetrachtung:

\left[ L \right] = \sqrt {kg \cdot m^2 \cdot J} = \sqrt {\frac{{kg \cdot m^2 \cdot kg \cdot m^2 }} {{s^2 }}} = \sqrt {\frac{{kg^2 \cdot m^4 }} {{s^2 }}} = \frac{{kg \cdot m^2 }} {s} = Js

d )

Das Trägheitsmoment für eine Kugel mit homogener Massenverteilung ist:

J = \frac{2} {5}m \cdot r^2

Als Masse nehmen wir die Masse der 16 Elektronen an, nämlich:

m = 16 \cdot m_e

Eingesetzt:

J = \frac{2} {5} \cdot 16 \cdot m_e \cdot \left( {0,5 \cdot 10^{-23} } \right)^2 = 1,458 \cdot 10^{-50} kg \cdot m^2

Hieraus berechnen wir nun das Trägheitsmoment, wenn der Drehimpuls 1 \hbar beträgt. Wir benutzen die Formel:

E_{rot} = \frac{{L^2 }} {{2 \cdot J}} = \frac{{\hbar ^2 }} {{2 \cdot 1,458 \cdot 10^{-50} kg \cdot m^2 }} = 3,82 \cdot 10^{-19} J

e )

Rotationsenergie bei Rotation um die Längsachse:

E_{rot} = 3,82 \cdot 10^{-19} J

Für die thermische Energie bei Raumtemperatur verwenden wir den Ansatz:

E_{therm} = \frac{f} {2} \cdot k \cdot T

Einsetzen der Werte, wobei f = 7. Dies kommt so zustande:

  • 3 Freiheitsgrade der Translation, da sich das Molekül in jede Richtung bewegen kann
  • 3 Freiheitsgrade der Rotation, da das Trägheitsmoment um die Figurenachse vernachlässigt wird
  • 1 Freiheitsgrad der Schwingung (Vibration). Dieser wird bei der Berechnung der inneren Energie doppelt gezählt, da Schwingungen sowohl kinetische als auch potentielle Energie besitzen

Allgemein können die Freiheitsgrade eines Systems nach folgendem Schema bestimmt werden:
n atomig linear:

  • 3 Translationsfreiheitsgrade
  • 2 Rotationsfreiheitsgrade
  • 3n-5 Schwingungsfreiheitsgrade (die bei der Berechnung der inneren Energie doppelt zählen)
  • 3n = Summe aller Freiheitsgrade

n atomig nicht linear:

  • 3 Translationsfreiheitsgrade
  • 3 Rotationsfreiheitsgrade
  • 3n-6 Schwingungsfreiheitsgrade (die bei der Berechnung der inneren Energie doppelt zählen)
  • 3n = Summe aller Freiheitsgrade

E_{therm} = \frac{7} {2} \cdot 1,38 \cdot 10^{-23} \cdot 293,15\:K = 1,416 \cdot 10^{-20} J

Vergleich der beiden Werte ergibt:

\frac{{E_{rot} }} {{E_{therm} }} = \frac{{3,82 \cdot 10^{-19} J}} {{1,416 \cdot 10^{-20} J}} = 27,1