07.2 – mittlere Geschwindigkeit durch thermische Energie

 

Die mittlere Translationsenergie (drei Freiheitsgrade) der Teilchen in einem Gas beträgt:

\frac{1} {2}m\left( {\left\langle {v_x^2 } \right\rangle +\left\langle {v_y^2 } \right\rangle +\left\langle {v_z^2 } \right\rangle } \right) = \frac{3} {2}k \cdot T

Berechnen Sie die mittlere Geschwindigkeit der thermischen Bewegung bei Zimmertemperatur \theta = 20^{\circ}C für:

  1. ein Elektron
  2. ein Wasserstoffmolekül im Gas
  3. ein Uranhexafluoridmolekül mit M\left(UF_6\right)= 352u
  4. ein Staubkorn mit r=1\mu m Radius und der Dichte \rho = 2\frac{g}{cm^3}
  5. einen Menschen der Masse m = 75kg

Lösung

a )

Die gegebene Formel lässt sich schreiben als:

\frac{1} {2}m\left( {\left\langle {v_x^2 } \right\rangle +\left\langle {v_y^2 } \right\rangle +\left\langle {v_z^2 } \right\rangle } \right) = \frac{3} {2}k \cdot T\quad \Rightarrow \quad \frac{m} {2}\left( {\bar v } \right)^2 = \frac{3} {2}k \cdot T

\bar v = \sqrt {\frac{{3 \cdot k \cdot T}} {m}}

Mit eingesetzten Werten:

\bar v_e = \sqrt {\frac{{3 \cdot 1,38 \cdot 10^{-23} \frac{J} {K} \cdot 293,15\:K}} {{9,109 \cdot 10^{-31} kg}}} = 115,5\frac{{km}} {s}

b )

Es ändert sich nur die Masse:

\bar v _{H_2 } = \sqrt {\frac{{3 \cdot k \cdot T}} {m} = } \sqrt {\frac{{3 \cdot 1,38 \cdot 10^{-23} \frac{J} {K} \cdot 293,15\:K}} {{2u}}} = 1,91\frac{{km}} {s}

c )

\bar v_{UF_6 } = \sqrt {\frac{{3 \cdot 1,38 \cdot 10^{-23} \frac{J} {K} \cdot 293,15\:K}} {{352u}}} = 144,1\frac{m} {s}

d )

Hier muss zunächst die Masse berechnet werden:

m = \rho \cdot V = 2\frac{g} {{cm^3 }} \cdot \frac{4} {3}\pi \cdot \left( {1\mu m} \right)^3 = 2 \cdot 10^3 \frac{{kg}} {{m^3 }} \cdot \frac{4} {3}\pi \cdot \left( {10^{-6} } \right)^3 m^3 = 8,337 \cdot 10^{-15} kg

\bar v_{Staub} = \sqrt {\frac{{3 \cdot 1,38 \cdot 10^{-23} \frac{J} {K} \cdot 293,15\:K}} {{8,337 \cdot 10^{-15} kg}}} = 1,203 \cdot 10^{-3} \frac{m} {s}

e )

\bar v_{Mensch} = \sqrt {\frac{{3 \cdot 1,38 \cdot 10^{-23} \frac{J} {K} \cdot 293,15\:K}} {{75kg}}} = 1,272 \cdot 10^{-11} \frac{m} {s}