07.3 – Maxwell’sche Geschwindigkeitsverteilung

 

Betrachten Sie ein N2 Molekül auf der Erdoberfläche. Die Geschwindigkeit, die ein N2 Molekül haben müsste, um in den Weltraum zu entweichen beträgt v_{Flucht} = 11,18 \cdot 10^3 m/s.

  1. Welcher Temperatur (in Kelvin) würde diese Geschwindigkeit entsprechen?
  2. Überlegen Sie an Hand der Maxwell’schen Geschwindigkeitsverteilung, warum bei T = 300K der Anteil der N2 Moleküle, die eine Geschwindigkeit größer v_{Flucht} haben, verschwindend klein ist.
  3. Warum hat ein H2 Molekül bei T = 300K eine größere Chance, in den Weltraum zu entweichen, als ein N2 Molekül?

Lösung

a )

Für die Energie des Gases gilt:

E_{kin} = \frac{m} {2}\left( {\overline v } \right)^2 = \frac{3} {2}k \cdot T = E_{th}

Wir stellen nach der Temperatur um, da wir diese berechnen wollen:

\frac{{\frac{m} {2}\bar v^2 }} {{\frac{3} {2}k}} = T = \frac{{m \cdot \bar v^2 }} {{3 \cdot k}}

Werte einsetzen:

T = \frac{{m \cdot \bar v^2 }} {{3 \cdot k}} = \frac{{2 \cdot 14 \cdot u \cdot \left( {11,18 \cdot 10^3 \frac{m} {s}} \right)^2 }} {{3 \cdot k}} = 1,403 \cdot 10^5 K

b )

Wie in der ersten Teilaufgabe berechnet, müsste das Gas eine Temperatur von 140309 K haben, damit die mittlere Geschwindigkeit der N2 Moleküle über der Fluchtgeschwindigkeit liegt. Doch hier geht es wie gesagt nur um das Mittel der Geschwindigkeit. Auch bei 300 K gibt es schon Moleküle, die diese Geschwindigkeit haben. Ebenso gibt es andere, die langsamer sind als die mittlere Geschwindigkeit bei 300 K.

Die Geschwindigkeiten sind statistisch verteilt, wenn man also das Schaubild von der Häufigkeit des Auftretens einer Geschwindigkeit in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit zeichnet, hat dies die folgende Form (x-Achse: v in m/s, y-Achse: Anteil der Moleküle mit dieser Geschwindigkeit in 0,1%:

Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung

Man sieht, dass bei T=300K der Anteil von Molekülen mit einer Geschwindigkeit von v=11,18 \cdot 10^3 m/s nahezu null ist.

Mathematische Betrachtung:

Die Maxwell’sche Geschwindigkeitsverteilung hat die Formel:

F(v) = \sqrt {\frac{2} {\pi }} \cdot \left( {\frac{{m_{{\text{N}}_2 } }} {{k \cdot T}}} \right)^{3/2} v^2 \cdot \exp \left( {-\frac{{m_{{\text{N}}_2 } v^2 }} {{2 \cdot k \cdot T}}} \right)

Wir betrachten nun nur den Teil im Exponenten und setzen Werte ein:

\exp \left( {-\frac{{m_{{\text{N}}_2 } v^2 }} {{2 \cdot k \cdot T}}} \right) = \exp \left( {-\frac{{28u \cdot \left( {11,18 \cdot 10^3 \frac{m} {s}} \right)^2 }} {{2 \cdot 1,38 \cdot 10^{-23} \frac{J} {K} \cdot 300K}}} \right) = \exp \left( {-701,88} \right)

Diese Zahl ist ungefähr gleich 9,87 \cdot 10^{-305}, also wirklich winzig klein. Durch den vorderen Faktor wird das Ergebnis auch nicht mehr viel größer. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein N2 Molekül bei 300K die Fluchtgeschwindigkeit der Erde erreicht, ist also verschwindend gering.

c )

Wir betrachten nun ein H2 Molekül und setzen seine Masse in den Exponenten der Maxwell’schen Geschwindigkeitsverteilung ein:

\exp \left( {-\frac{{m_{{\text{H}}_2 } v^2 }} {{2 \cdot k \cdot T}}} \right) = \exp \left( {-\frac{{2u \cdot \left( {11,18 \cdot 10^3 \frac{m} {s}} \right)^2 }} {{2 \cdot 1,38 \cdot 10^{-23} \frac{J} {K} \cdot 300K}}} \right)

= \exp \left( {-50,13} \right) \approx 1,93 \cdot 10^{-22}

Dies ist zwar immernoch sehr klein, aber schon viel größer als 9,87 \cdot 10^{-305}.