07.4 – Teilchenstrom und Teilchenstromdichte

In einem Würfel mit dem Volumen $V = 1m^3$ befindet sich ein Mol Argongas der Masse $M_L = 40 g/mol$ bei einer Temperatur von $\theta = 300^{\circ}C$ . In diesem Würfel wird eine Öffnung von $A = 1 cm^2$ gemacht.

Berechnen Sie die mittlere Geschwindigkeit $v$ der Atome in eine Raumrichtung.
Berechnen Sie die Anzahl $I=N/t$ der pro Zeiteinheit austretenden Atome (Teilchenstrom)
Wie groß ist die Teilchenstromdichte $j$ am Austrittsort?

Lösung

a )

Der Ansatz ist hier das Gleichsetzen von der thermischen Energie des Gases mit der kinetischen Energie. Es gilt:

$\frac{1} {2}m\left( {\left\langle {v_x^2 } \right\rangle +\left\langle {v_y^2 } \right\rangle +\left\langle {v_z^2 } \right\rangle } \right) = \frac{f} {2}k \cdot T$

Argongas hat bereits Edelgaskonfiguration und gibt daher keine Valenzelektronen an andere Atome ab. Dadurch tritt Argon einatomig auf, und nicht zweiatomig wie etwa Wasserstoff. Bei einatomigen Molekülen gibt es nur drei Freiheitsgrade, nämlich die der Translation. Es gilt daher:

$E_{kin} = \frac{m} {2}\bar v^2 = \frac{3} {2}k \cdot T = E_{th}$

Wenn wir nur eine Raumrichtung betrachten, gibt es allerdings auch nur einen Freiheitsgrad:

$\frac{m} {2}\bar v^2 = \frac{1} {2}k \cdot T$

$\Rightarrow \quad \bar v^2 = \frac{{\frac{1} {2}k \cdot T}} {{\frac{m} {2}}}$

Werte einsetzen:

$\bar v = \sqrt {\frac{{k \cdot T}} {m}} = \sqrt {\frac{{k \cdot 573,15\:K}} {{40u}}} = 345,16\frac{m} {s}$

b )

Für den Teilchenstrom gilt:

$I = \frac{N} {T}$

Um den Teilchenstrom zu berechnen, muss man nun also die Anzahl der Teilchen berechnen, die sich in einem bestimmten Zeitintervall durch die Fläche der Öffnung bewegt.
Es gilt:

$\frac{{dN}} {{dt}} = \rho _{Teilchen} \cdot \vec v \circ \vec A$

In diesem Fall ist die Bewegungsrichtung senkrecht zu der Fläche, durch die die Teilchen laufen sollen, daher vereinfacht sich die Gleichung zu:

$I = \rho _{Teilchen} \cdot v \cdot A$

Wir wollen nun aber nur die Teilchen betrachten, die durch die Fläche nach außen strömen, daher müssen wir den Teilchenstrom halbieren:

$I = \frac{1} {2} \cdot \rho _{Teilchen} \cdot v \cdot A$

Für die Berechnung fehlt noch die Teilchendichte. Diese können wir schreiben als:

$\rho _{Teilchen} = \frac{{n \cdot N_A }} {V}\quad \Rightarrow \quad I = \frac{1} {2} \cdot \frac{{n \cdot N_A }} {V} \cdot v \cdot A$

Nun setzen wir die in der letzten Teilaufgabe berechnete mittlere Geschwindigkeit der Teichen in eine Raumrichtung ein:

$I = \frac{1} {2} \cdot \frac{{n \cdot N_A }} {V} \cdot v \cdot A = \frac{1} {2} \cdot \frac{{n \cdot N_A }} {V} \cdot \sqrt {\frac{{k \cdot T}} {m}} \cdot A$

Werte einsetzen:

$I = \frac{1} {2} \cdot \frac{{n \cdot N_A }} {V} \cdot \sqrt {\frac{{k \cdot T}} {m}} \cdot A = \frac{1} {2} \cdot \frac{{1mol \cdot 6,022 \cdot 10^{23} \frac{1} {{mol}}}} {{1m^3 }} \cdot \sqrt {\frac{{1,38 \cdot 10^{-23} \frac{J} {K} \cdot 573,15K}} {{40u}}} \cdot 10^{-4} m^2$