08.1 – Intensität einer Lichtquelle

 
  1. Gegeben ist ein isotroper Punktstrahler mit der Quell-Leistung P_Q. Berechnen Sie die Intensität I=P_Q/A als Funktion des Abstandes r von der Punktquelle
  2. Eine elektrische Glühlampe (punktförmig) strahlt mit einer Leistung von 100 Watt. Wie groß ist die Leistung pro cm2 im Abstand 1m, bzw. 10m von der Glühlampe?
  3. Ein Richtstrahler der Quell-Leistung P_Q hat ein Abstrahlwinkel von 30°. Wie groß ist die Leistung (pro m2) im Abstand 100m vom Richtstrahler?

Lösung

a )

A: Messfläche im Abstand r

Wir beginnen mit der Formel, die aus der Aufgabenstellung bekannt ist:

I = \frac{{P_Q }} {A}

Für die Fläche A setzen wir die Oberfläche der Kugel um den Punktstrahler im Abstand r ein:

I\left( r \right) = \frac{{P_Q }} {{4\pi \cdot r^2 }}

Mit dieser Formel kann die Intesität im Abstand r über die gesamte Kugel berechnet werden. Um die Intensität im Abstand r in Abhängigkeit einer bestimmten Messfläche zu berechnen müssen wir die gesamte Oberfläche der Kugel durch die Messfläche teilen:

I\left( r \right) = \frac{{P_Q }} {{\frac{{4\pi \cdot r^2 }} {A}}}\quad \Rightarrow \quad I\left( r \right) = \frac{{P_Q \cdot A}} {{4\pi \cdot r^2 }}

b )

Nun können wir die Formel aus der Teilaufgabe a) benutzen:

I\left( r \right) = \frac{{P_Q \cdot A}} {{4\pi \cdot r^2 }}

Einsetzen der Werte ergibt:

I\left( r \right) = \frac{{100W \cdot 10^{-4} m^2 }} {{4\pi \cdot \left( {1m} \right)^2 }} = 7,96 \cdot 10^{-4} W

Für den zweiten Wert von r=10m erhalten wir:

I\left( r \right) = \frac{{100W \cdot 10^{-4} m^2 }} {{4\pi \cdot \left( {10m} \right)^2 }} = 7,96 \cdot 10^{-6} W

c )

Nun betrachten wir eine Kugelkalotte. Die Formel für die Mantelfläche einer Kugelkalotte ist:

kugel-kalotte

M = 2\pi Rh

Wir setzen für h:

h = R-x

und für x:

x^2 = R^2 -a^2 \quad x = \sqrt {R^2 -a^2 }

a = \sin \left( {\frac{\alpha } {2}} \right) \cdot R

Alles eingesetzt:

M = 2\pi R \cdot \left( {R-x} \right) = 2\pi R \cdot \left( {R-\sqrt {R^2 -a^2 } } \right)

= 2\pi R \cdot \left( {R-\sqrt {R^2 -\left( {\sin \left( {\frac{\alpha } {2}} \right) \cdot R} \right)^2 } } \right)

Vereinfacht:

M = 2\pi R \cdot \left( {R-\sqrt {R^2 \left( {1-\sin ^2 \left( {\frac{\alpha } {2}} \right)} \right)} } \right)

= 2\pi R \cdot \left( {R-\sqrt {R^2 \left( {\cos ^2 \left( {\frac{\alpha } {2}} \right)} \right)} } \right)

= 2\pi R^2 \cdot \left( {1-\cos \left( {\frac{\alpha } {2}} \right)} \right)

Leistung pro Quadratmeter:

L\left( {100m} \right) = \frac{{P_Q }} {{2\pi R^2 \cdot \left( {1-\cos \left( {\frac{\alpha } {2}} \right)} \right)}} = \frac{{P_Q }} {{2\pi \left( {100m} \right)^2 \cdot \left( {1-\cos \left( {15^\circ } \right)} \right)}} = P_Q \cdot 4,67 \cdot 10^{-4}

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