08.2 – Auftrieb des Airbus A380

 

Der Airbus A380 hat eine Flügelfläche von A=846m^2. Er soll mit einer Gesamtmasse von m=560t starten.

  1. Die Strömungsgeschwindigkeiten an der Tragfläche (oben / unten) sind v_{oben} bzw. v_{unten}. Welche Beziehung ergibt sich für die Druckdifferenz \Delta p, wenn für die Startgeschwindigkeit die Beziehung v_s = 1/2 \left(v_{oben}+v_{unten}\right) eingesetzt wird.
  2. Der Airbus startet nun mit einer maximalen Startgeschwindigkeit von v_s = 290km/h. Wie groß muss die Geschwindigkeitsdifferenz v_{oben}-v_{unten} der Strömung an der Tragfläche sein, damit der Airbus abheben kann?

Lösung

a )

Wir beginnen mit der Definition des Drucks:

p = \frac{{F_A }} {A}\quad

Für die Kraft setzen wir die Formel der Auftribskraft ein:

F_A = \frac{\rho } {2} \cdot v^2 \cdot A

Somit ergibt sich für den Druck:

p = \frac{{\frac{\rho } {2} \cdot v^2 \cdot A}} {A} = \frac{\rho } {2} \cdot v^2

Nun wollen wir die Druckdifferenz zwischen den Flügelseiten berechnen, dazu bilden wir die Differenz:

\Delta p = \frac{\rho } {2} \cdot v_{oben} ^2 -\frac{\rho } {2} \cdot v_{unten} ^2

\Delta p = \frac{\rho } {2} \cdot \left( {v_{oben} ^2 -v_{unten} ^2 } \right)

\Delta p = \frac{\rho } {2} \cdot \left( {v_{oben} -v_{unten} } \right)\left( {v_{oben} +v_{unten} } \right)

Nun ersetzen wir ein Teil der Formel durch die Definition der Startgeschwindigkeit aus der Aufgabe:

\Delta p = \rho \cdot v_s \cdot \left( {v_{oben} -v_{unten} } \right)

b )

Damit das Flugzeug starten kann, muss die Auftriebskraft mindestens genau so groß sein, wie die Gewichtskraft:

F_G = F_A

Wir setzen die Formel für die Gewichtskraft ein und Teilen durch die Fläche A:

m \cdot g = F_A \quad |:A

\frac{{m \cdot g}} {A} = \frac{{F_A }} {A}

Die Auftriebskraft geteilt durch die Flügelfläche ergibt den Druckunterschied zwischen Flügelober- und unterseite:

\frac{{m \cdot g}} {A} = \Delta p

Für diesen Druckunterschied haben wir in der ersten Teilaufgabe eine Formel hergeleitet:

\frac{{m \cdot g}} {A} = \rho \cdot v_s \cdot \left( {v_{oben} -v_{unten} } \right)\quad |:\left( {\rho \cdot v_s } \right)

\frac{{m \cdot g}} {{A \cdot \rho \cdot v_s }} = \left( {v_{oben} -v_{unten} } \right)

Werte einsetzen:

\Delta v = \frac{{5,6 \cdot 10^5 kg \cdot 9,81\frac{m} {{s^2 }}}} {{846m^2 \cdot 1,295\frac{{kg}} {{m^3 }} \cdot \frac{{290}} {{3,6}} \cdot \frac{m} {s}}} = 62,23\frac{m} {s}