08.3 – Luftströmung durch ein Rohr

 

In ein zylindrisches Rohr wird pro Sekunde ein Liter Luft eingeblasen. Die Eintrittsöffnung hat eine Fläche von A_0 = 0,2cm^2. Die Austrittsöffnung hat eine Fläche von A_1 = 200cm^2. Die Dichte von Luft ist \rho = 1,295 kg/m^3.

  1. Berechnen Sie die mittlere Geschwindigkeit \left\langle {v_0} \right\rangle der Luftmoleküle am Eintritt.
  2. Wie groß ist die mittlere Geschwindigkeit \left\langle {v_1} \right\rangle der Luftmoleküle an der Austrittsöffnung?
  3. Vergleichen Sie diese Geschwindigkeit mit der Wurzel aus dem mittleren Geschwindigkeitsquadrat von N2 Molekülen bei \Theta = 0^{\circ}C.
  4. Welche Druckdifferenz \Delta p ergibt sich zwischen A_0 und A_1?
  5. Wie viele Luftmoleküle treten pro Sekunde durch die Austrittsöffnung?

Lösung

a )

Das Volumen der Luft, die in einer Sekunde durch die Öffnung strömt ist ein Liter:

V = 1l = 10^{-3} m^3

Wir stellen uns dieses Volumen nun als “Luftstab” mit der Querschnittsfläche A vor:

A = 0,2cm^2 = 2 \cdot 10^{-5} m^2

Der Stab hat dann die Länge:

s = \frac{V} {A} = \frac{{10^{-3} m^3 }} {{2 \cdot 10^{-5} m^2 }} = 50m

Der gesamte Stab wird in einer Sekunde durch die Öffnung “geschoben”. Dies entspricht der Geschwindigkeit:

v = \frac{s} {t} = \frac{{50m}} {{1s}} = 50\frac{m} {s}

b )

Es verlässt genau so viel Luft den Zylinder, wie hineinströmt. Daher ist das Volumen, das den Zylinder verlässt:

V = 1l = 10^{-3} m^3

Die Austrittsöffnung ist nun:

A = 200cm^2 = 2 \cdot 10^{-2} m^2

Der Luftstab ist dicker und hat daher nur die Länge:

s = \frac{V} {A} = \frac{{10^{-3} m^3 }} {{2 \cdot 10^{-2} m^2 }} = 0,05m

Dies ergibt eine Geschwindigkeit von:

v = \frac{s} {t} = \frac{{0,05m}} {{1s}} = 0,05\frac{m} {s} = 5\frac{{cm}} {s}

c )

Die thermische Energie eines Stickstoffmoleküls bei 0°C beträgt:

E_{th} = \frac{3} {2}k \cdot T

Dies entspricht bei niedrigen Temperaturen der kinetischen Translationsenergie:

E_{kin} = \frac{1} {2}m \cdot v^2

Wir setzen gleich und stellen nach der Geschwindigkeit um:

\frac{3} {2}k \cdot T = \frac{1} {2}m \cdot v^2

\frac{{3 \cdot k \cdot T}} {m} = v^2

v = \sqrt {\frac{{3 \cdot k \cdot T}} {m}}

Werte einsetzen:

v = \sqrt {\frac{{3 \cdot k \cdot 273,15K}} {{28u}}} = 493,27\frac{m} {s}

Diese Geschwindigkeit ist viel größer als die Eintritts- bzw Austrittsgeschwindigkeit des Zylinders.

d )

Wir verwenden hier die Formel von Bernoulli:

\frac{1} {2}\rho \cdot v_0 ^2 +p_0 = \frac{1} {2}\rho \cdot v_1 ^2 +p_1

Nach der Druckdifferenz umgestellt:

p_0 -p_1 = \frac{1} {2}\rho \cdot v_1 ^2 -\frac{1} {2}\rho \cdot v_0 ^2 = \frac{1} {2}\rho \cdot \left( {v_1 ^2 -v_0 ^2 } \right)

\Delta p = \frac{1} {2}\rho \cdot \left( {v_1 ^2 -v_0 ^2 } \right) = \frac{1} {2} \cdot 1,295\frac{{kg}} {{m^3 }} \cdot \left( {\left( {50\frac{m} {s}} \right)^2 -\left( {0,05\frac{m} {s}} \right)^2 } \right) = 1618,75\frac{N} {{m^2 }}

e )

Wir berechnen zunächst die Masse der Luft:

m = \rho \cdot V\quad \Rightarrow \quad m = 1,295\frac{{kg}} {{m^3 }} \cdot 10^{-3} m^3 = 1,295 \cdot 10^{-3} kg = 1,295g

Das Molekulargewicht beträgt:

M_L = 29\frac{g} {{mol}}

Der Zusammenhang zwischen der Mol-Anzahl n und der Anzahl der Moleküle ist:

N = n \cdot N_A

Einsetzen:

N = n \cdot N_A = \frac{m} {M} \cdot N_A = \frac{{1,295g}} {{29\frac{g} {{mol}}}} \cdot 6,022 \cdot 10^{23} \frac{1} {{mol}} = 2,689 \cdot 10^{22}

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