08.3 – Luftströmung durch ein Rohr

In ein zylindrisches Rohr wird pro Sekunde ein Liter Luft eingeblasen. Die Eintrittsöffnung hat eine Fläche von $A_0 = 0,2cm^2$ . Die Austrittsöffnung hat eine Fläche von $A_1 = 200cm^2$ . Die Dichte von Luft ist $\rho = 1,295 kg/m^3$ .

Berechnen Sie die mittlere Geschwindigkeit $\left\langle {v_0} \right\rangle$ der Luftmoleküle am Eintritt.
Wie groß ist die mittlere Geschwindigkeit $\left\langle {v_1} \right\rangle$ der Luftmoleküle an der Austrittsöffnung?
Vergleichen Sie diese Geschwindigkeit mit der Wurzel aus dem mittleren Geschwindigkeitsquadrat von N₂ Molekülen bei $\Theta = 0^{\circ}C$ .
Welche Druckdifferenz $\Delta p$ ergibt sich zwischen $A_0$ und $A_1$ ?
Wie viele Luftmoleküle treten pro Sekunde durch die Austrittsöffnung?

Lösung

a )

Das Volumen der Luft, die in einer Sekunde durch die Öffnung strömt ist ein Liter:

$V = 1l = 10^{-3} m^3$

Wir stellen uns dieses Volumen nun als “Luftstab” mit der Querschnittsfläche $A$ vor:

$A = 0,2cm^2 = 2 \cdot 10^{-5} m^2$

Der Stab hat dann die Länge:

$s = \frac{V} {A} = \frac{{10^{-3} m^3 }} {{2 \cdot 10^{-5} m^2 }} = 50m$

Der gesamte Stab wird in einer Sekunde durch die Öffnung “geschoben”. Dies entspricht der Geschwindigkeit:

$v = \frac{s} {t} = \frac{{50m}} {{1s}} = 50\frac{m} {s}$

b )

Es verlässt genau so viel Luft den Zylinder, wie hineinströmt. Daher ist das Volumen, das den Zylinder verlässt:

$V = 1l = 10^{-3} m^3$

Die Austrittsöffnung ist nun:

$A = 200cm^2 = 2 \cdot 10^{-2} m^2$

Der Luftstab ist dicker und hat daher nur die Länge:

$s = \frac{V} {A} = \frac{{10^{-3} m^3 }} {{2 \cdot 10^{-2} m^2 }} = 0,05m$

Dies ergibt eine Geschwindigkeit von:

$v = \frac{s} {t} = \frac{{0,05m}} {{1s}} = 0,05\frac{m} {s} = 5\frac{{cm}} {s}$

c )

Die thermische Energie eines Stickstoffmoleküls bei 0°C beträgt:

$E_{th} = \frac{3} {2}k \cdot T$

Dies entspricht bei niedrigen Temperaturen der kinetischen Translationsenergie:

$E_{kin} = \frac{1} {2}m \cdot v^2$

Wir setzen gleich und stellen nach der Geschwindigkeit um:

$\frac{3} {2}k \cdot T = \frac{1} {2}m \cdot v^2$

$\frac{{3 \cdot k \cdot T}} {m} = v^2$

$v = \sqrt {\frac{{3 \cdot k \cdot T}} {m}}$

Werte einsetzen:

$v = \sqrt {\frac{{3 \cdot k \cdot 273,15K}} {{28u}}} = 493,27\frac{m} {s}$

Diese Geschwindigkeit ist viel größer als die Eintritts- bzw Austrittsgeschwindigkeit des Zylinders.

d )

Wir verwenden hier die Formel von Bernoulli:

$\frac{1} {2}\rho \cdot v_0 ^2 +p_0 = \frac{1} {2}\rho \cdot v_1 ^2 +p_1$

Nach der Druckdifferenz umgestellt:

$p_0 -p_1 = \frac{1} {2}\rho \cdot v_1 ^2 -\frac{1} {2}\rho \cdot v_0 ^2 = \frac{1} {2}\rho \cdot \left( {v_1 ^2 -v_0 ^2 } \right)$

$\Delta p = \frac{1} {2}\rho \cdot \left( {v_1 ^2 -v_0 ^2 } \right) = \frac{1} {2} \cdot 1,295\frac{{kg}} {{m^3 }} \cdot \left( {\left( {50\frac{m} {s}} \right)^2 -\left( {0,05\frac{m} {s}} \right)^2 } \right) = 1618,75\frac{N} {{m^2 }}$