08.4 – Wasserdruck im Gartenschlauch

 

Mit Ihrem Gartenschlauch (Innendurchmesser d_1 = 13mm) erreichen Sie bei geöffneter Düse (d=d_1) eine maximale “Spritzweite” von ca. 1,5m (ab Höhe Null vom Boden).

  1. Auf welchen Durchmesser (d_2) müssen Sie die Düse verkleinern, um Ihre Blumen in 10m Entfernung noch mit Wasser versorgen zu können?
  2. Der Vordruck in der Wasserleitung beträgt laut alter Armatur p_1 = 4,5 bar. Wie groß ist der Druck p_2 an der Düse mit dem Durchmesser d_2?

Hinweis: 1 bar = 10^5Pa

Lösung

a )

Wir stellen zunächst die Differentialgleichung und die Gleichung für die Bahnkurve auf:

In Richtung der z-Koordinate:

-m \cdot g = m \cdot a

-g = \ddot z

\dot z = -g \cdot t+C_1

z = \frac{{-g}} {2} \cdot t^2 +C_1 \cdot t+C_2

Rahmenbedingungen:

z\left( 0 \right) = 0\quad \Rightarrow \quad C_2 = 0

\dot z\left( 0 \right) = v_0 \cdot \sin \left( {\frac{\pi } {4}} \right)\quad \Rightarrow \quad C_1 = v_0 \cdot \sin \left( {\frac{\pi } {4}} \right)

also:

z\left( t \right) = \frac{{-g}} {2} \cdot t^2 +v_0 \cdot \sin \left( {\frac{\pi } {4}} \right) \cdot t

In Richtung der x-Koordinate:

0 = m \cdot a

\ddot x = 0

\dot x = C_3

x = C_3 \cdot t+C_4

Rahmenbedingungen:

x\left( 0 \right) = 0\quad \Rightarrow \quad C_4 = 0

\dot x\left( 0 \right) = v_0 \cdot \cos \left( {\frac{\pi } {4}} \right)\quad \Rightarrow \quad C_3 = v_0 \cdot \cos \left( {\frac{\pi } {4}} \right)

x = v_0 \cdot \cos \left( {\frac{\pi } {4}} \right) \cdot t

Für die Bahnkurve stellen wir x\left(t\right) nach t um und setzen in z\left(t\right) ein:

x = v_0 \cdot \cos \left( {\frac{\pi } {4}} \right) \cdot t

t = \frac{x} {{v_0 \cdot \cos \left( {\frac{\pi } {4}} \right)}}

z\left( t \right) = \frac{{-g}} {2} \cdot t^2 +v_0 \cdot \sin \left( {\frac{\pi } {4}} \right) \cdot t

z\left( x \right) = \frac{{-g}} {2} \cdot \left( {\frac{x} {{v_0 \cdot \cos \left( {\frac{\pi } {4}} \right)}}} \right)^2 +v_0 \cdot \sin \left( {\frac{\pi } {4}} \right) \cdot \frac{x} {{v_0 \cdot \cos \left( {\frac{\pi } {4}} \right)}}

Vereinfachen:

z\left( x \right) = \frac{{-g}} {{v_0 ^2 }} \cdot x^2 +x

Wir kennen die x-Koordinate der Nullstelle (Spritzweite). Wir stellen daher nach v_0 um und setzen die Spritzweite ein. So erhalten wir die Anfangsgeschwindigkeiten für die beiden Austrittsöffnungen:

0 = \frac{{-g}} {{v_0 ^2 }} \cdot x^2 +x

\frac{1} {{g \cdot x}} = \frac{1} {{v_0 ^2 }}

v_0 = \sqrt {g \cdot x} = \sqrt {g \cdot 1,5m} = 3,83\frac{m} {s}

v_1 = \sqrt {g \cdot x} = \sqrt {g \cdot 10m} = 9,9\frac{m} {s}

Wir setzen in die Kontinuitätsgleichung ein und erhalten:

A_0 \cdot v_0 = A_1 \cdot v_1

A_1 = \frac{{A_0 \cdot v_0 }} {{v_1 }} = \frac{{\pi \cdot \left( {6,5 \cdot 10^{-3} m} \right)^2 \cdot 3,83\frac{m} {s}}} {{9,9\frac{m} {s}}} = 5,14 \cdot 10^{-5} m^2

Dies ist der Flächeninhalt der Austrittsöffnung. Wir rechnen dies in den Durchmesser um:

d_2 = 2 \cdot 4,05 \cdot 10^{-3} m = 8,1mm

b )

Ansatz:

\frac{1} {2}\rho \cdot v^2 +p = const

\frac{1} {2}\rho \cdot v_0 ^2 +p_0 = \frac{1} {2}\rho \cdot v_1 ^2 +p_1

\frac{1} {2}\rho \cdot v_0 ^2 -\frac{1} {2}\rho \cdot v_1 ^2 +p_0 = p_1

p_1 = \frac{1} {2}\rho \left( {v_0 ^2 -v_1 ^2 } \right)+p_0

p_1 = \frac{1} {2} \cdot 1000\frac{{kg}} {{m^3 }}\left( {\left( {3,83\frac{m} {s}} \right)^2 -\left( {9,9\frac{m} {s}} \right)^2 } \right)+4,5 \cdot 10^5 \frac{N} {{m^2 }} = 4,06 \cdot 10^5 \frac{N} {{m^2 }}

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