08.4 – Wasserdruck im Gartenschlauch

Mit Ihrem Gartenschlauch (Innendurchmesser d1 = 13mm) erreichen Sie bei geöffneter Düse (d1) eine maximale “Spritzweite” von ca. 1,5m (ab Höhe Null vom Boden).

  1. Auf welchen Durchmesser (d2) müssen Sie die Düse verkleinern, um Ihre Blumen in 10m Entfernung noch mit Wasser versorgen zu können?
  2. Der Vordruck in der Wasserleitung beträgt laut alter Armatur p1 = 4,5 bar. Wie groß ist der Druck p2 an der Düse mit dem Durchmesser d2? (1 bar = 105Pa)

Lösung

a )

Wir stellen zunächst die Differentialgleichung und die Gleichung für die Bahnkurve auf:

In Richtung der z-Koordinate:

<br /> -m \cdot g = m \cdot a<br />

<br /> -g = \ddot z<br />

<br /> \dot z = -g \cdot t+C_1<br />

<br /> z = \frac{{-g}}<br /> {2} \cdot t^2 +C_1 \cdot t+C_2<br />

Rahmenbedingungen:

<br /> z\left( 0 \right) = 0\quad \Rightarrow \quad C_2 = 0<br />

<br /> \dot z\left( 0 \right) = v_0 \cdot \sin \left( {\frac{\pi }<br /> {4}} \right)\quad \Rightarrow \quad C_1 = v_0 \cdot \sin \left( {\frac{\pi }<br /> {4}} \right)<br />

also:

<br /> z\left( t \right) = \frac{{-g}}<br /> {2} \cdot t^2 +v_0 \cdot \sin \left( {\frac{\pi }<br /> {4}} \right) \cdot t<br />

In Richtung der x-Koordinate:

<br /> 0 = m \cdot a<br />

<br /> \ddot x = 0<br />

<br /> \dot x = C_3<br />

<br /> x = C_3 \cdot t+C_4<br />

Rahmenbedingungen:

<br /> x\left( 0 \right) = 0\quad \Rightarrow \quad C_4 = 0<br />

<br /> \dot x\left( 0 \right) = v_0 \cdot \cos \left( {\frac{\pi }<br /> {4}} \right)\quad \Rightarrow \quad C_3 = v_0 \cdot \cos \left( {\frac{\pi }<br /> {4}} \right)<br />

<br /> x = v_0 \cdot \cos \left( {\frac{\pi }<br /> {4}} \right) \cdot t<br />

Für die Bahnkurve stellen wir x(t) nach t um und setzen in z(t) ein:

<br /> x = v_0 \cdot \cos \left( {\frac{\pi }<br /> {4}} \right) \cdot t<br />

<br /> t = \frac{x}<br /> {{v_0 \cdot \cos \left( {\frac{\pi }<br /> {4}} \right)}}<br />

<br /> z\left( t \right) = \frac{{-g}}<br /> {2} \cdot t^2 +v_0 \cdot \sin \left( {\frac{\pi }<br /> {4}} \right) \cdot t<br />

<br /> z\left( x \right) = \frac{{-g}}<br /> {2} \cdot \left( {\frac{x}<br /> {{v_0 \cdot \cos \left( {\frac{\pi }<br /> {4}} \right)}}} \right)^2 +v_0 \cdot \sin \left( {\frac{\pi }<br /> {4}} \right) \cdot \frac{x}<br /> {{v_0 \cdot \cos \left( {\frac{\pi }<br /> {4}} \right)}}<br />

Vereinfachen:

<br /> z\left( x \right) = \frac{{-g}}<br /> {{v_0 ^2 }} \cdot x^2 +x<br />

Wir kennen die x-Koordinate der Nullstelle (Spritzweite). Wir stellen daher nach v0 um und setzen die Spritzweite ein. So erhalten wir die Anfangsgeschwindigkeiten für die beiden Austrittsöffnungen:

<br /> 0 = \frac{{-g}}<br /> {{v_0 ^2 }} \cdot x^2 +x<br />

<br /> \frac{1}<br /> {{g \cdot x}} = \frac{1}<br /> {{v_0 ^2 }}<br />

<br /> v_0 = \sqrt {g \cdot x} = \sqrt {g \cdot 1,5m} = 3,83\frac{m}<br /> {s}<br />

<br /> v_1 = \sqrt {g \cdot x} = \sqrt {g \cdot 10m} = 9,9\frac{m}<br /> {s}<br />

Wir setzen in die Kontinuitätsgleichung ein und erhalten:

<br /> A_0 \cdot v_0 = A_1 \cdot v_1<br />

<br /> A_1 = \frac{{A_0 \cdot v_0 }}<br /> {{v_1 }} = \frac{{\pi \cdot \left( {6,5 \cdot 10^{-3} m} \right)^2 \cdot 3,83\frac{m}<br /> {s}}}<br /> {{9,9\frac{m}<br /> {s}}} = 5,14 \cdot 10^{-5} m^2<br />

Dies ist der Flächeninhalt der Austrittsöffnung. Wir rechnen dies in den Durchmesser um:

<br /> d_2 = 2 \cdot 4,05 \cdot 10^{-3} m = 8,1mm<br />

b )

Ansatz:

<br /> \frac{1}<br /> {2}\rho \cdot v^2 +p = const<br />

<br /> \frac{1}<br /> {2}\rho \cdot v_0 ^2 +p_0 = \frac{1}<br /> {2}\rho \cdot v_1 ^2 +p_1<br />

<br /> \frac{1}<br /> {2}\rho \cdot v_0 ^2 -\frac{1}<br /> {2}\rho \cdot v_1 ^2 +p_0 = p_1<br />

<br /> p_1 = \frac{1}<br /> {2}\rho \left( {v_0 ^2 -v_1 ^2 } \right)+p_0<br />

<br /> p_1 = \frac{1}<br /> {2} \cdot 1000\frac{{kg}}<br /> {{m^3 }}\left( {\left( {3,83\frac{m}<br /> {s}} \right)^2 -\left( {9,9\frac{m}<br /> {s}} \right)^2 } \right)+4,5 \cdot 10^5 \frac{N}<br /> {{m^2 }} = 4,06 \cdot 10^5 \frac{N}<br /> {{m^2 }}<br />

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