09.3 – Elektrisches Feld von zwei Punktladungen

Gegeben ist die skizzierte Anordnung von zwei Punktladungen $+q$ und $-q$ .

punktquellen-elektrisches-feld

Wie groß ist das Potential $\phi$ im Punkt $A\left(a,0\right)$ ?
Geben Sie den Feldstärkevektor $E$ im Punkt $A\left(a,0\right)$ an.
Berechnen Sie das Potential $\phi$ im Punkt $P\left(x,y\right)$
Berechnen Sie den Feldstärkevektor $E$ im Punkt $P\left(x,y\right)$
Welche Näherung erhalten Sie für das Potential $\phi$ in großer Entfernung? ( $x^2+y^2 \gg a^2$ )?

Lösung

a )

Für die Berechnung des Potentials berechnen wir das Potential jeder Ladung mit:

$\phi _i = \frac{1} {{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon _0 }} \cdot \frac{{q_i }} {{r_i }}$

Da sie sich ungestört überlagern, berechnen wir die Summe aus den beiden Potentialen:

$\phi _{Ges} = \sum\limits_{i = 1}^n {\phi _i }$

Den Abstand der Ladung zum gegebenen Punkt $A\left(a,0\right)$ berechnen wir aus dem Pythagoras, somit ergibt sich:

$\phi _1 = \frac{1} {{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon _0 }} \cdot \frac{q} {{\sqrt 2 \cdot a}}$

$\phi _2 = \frac{1} {{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon _0 }} \cdot \frac{{-q}} {{\sqrt 2 \cdot a}}$

Nun berechnen wir die Summe beider Potentiale:

$\phi _{Ges} = \sum\limits_{i = 1}^n {\phi _i }$

$\phi _{Ges} = \phi _1 +\phi _2$

$\phi _{Ges} = \frac{1} {{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon _0 }} \cdot \frac{q} {{\sqrt 2 \cdot a}}+\frac{1} {{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon _0 }} \cdot \frac{{-q}} {{\sqrt 2 \cdot a}} = \frac{q} {{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon _0 \cdot \sqrt 2 \cdot a}} \cdot \left( {1-1} \right) = \frac{q} {{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon _0 \cdot \sqrt 2 \cdot a}} \cdot 0 = 0$

b )

Die Formel für den Feldstärkevektor am Punkt $r$ ist:

$\vec E = \frac{q} {{4\pi \varepsilon _0 \varepsilon _r }} \cdot \frac{{\vec r}} {{r^3 }}$

$\vec E_1 = \frac{q} {{4\pi \varepsilon _0 \varepsilon _r }} \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a \\ -a \\ \end{array} } \right)\frac{1} {{\left( {\sqrt 2 \cdot a} \right)^3 }}$

$\vec E_2 = \frac{{-q}} {{4\pi \varepsilon _0 \varepsilon _r }} \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a \\ a \\ \end{array} } \right)\frac{1} {{\left( {\sqrt 2 \cdot a} \right)^3 }} = \frac{q} {{4\pi \varepsilon _0 \varepsilon _r }} \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} -a \\ -a \\ \end{array} } \right)\frac{1} {{\left( {\sqrt 2 \cdot a} \right)^3 }}$

Die beiden Vektoren werden vektoriell addiert:

$\vec E_{ges} = \vec E_1 +\vec E_2 = \frac{q} {{4\pi \varepsilon _0 \varepsilon _r }} \cdot \frac{1} {{\left( {\sqrt 2 \cdot a} \right)^3 }} \cdot \left( {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} a \\ -a \\ \end{array} } \right)+\left( {\begin{array}{*{20}{c}} -a \\ -a \\ \end{array} } \right)} \right)$

$= \frac{q} {{4\pi \varepsilon _0 \varepsilon _r }} \cdot \frac{1} {{\left( {\sqrt 2 \cdot a} \right)^3 }} \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ -2a \\ \end{array} } \right)$

c )

Wir beginnen mit der Formel aus Teilaufgabe a)

$\phi _i = \frac{1} {{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon _0 }} \cdot \frac{{q_i }} {{r_i }}$

$\phi _1 = \frac{1} {{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon _0 }} \cdot \frac{{+q}} {{\sqrt {x^2 +\left( {y-a} \right)^2 } }}$

$\phi _1 = \frac{1} {{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon _0 }} \cdot \frac{{-q}} {{\sqrt {x^2 +\left( {y+a} \right)^2 } }}$

$\phi _{Ges} = \frac{1} {{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon _0 }} \cdot \frac{{+q}} {{\sqrt {x^2 +\left( {y-a} \right)^2 } }}+\frac{1} {{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon _0 }} \cdot \frac{{-q}} {{\sqrt {x^2 +\left( {y+a} \right)^2 } }}$

$\phi _{Ges} = \frac{q} {{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon _0 }} \cdot \left( {\frac{1} {{\sqrt {x^2 +\left( {y-a} \right)^2 } }}-\frac{1} {{\sqrt {x^2 +\left( {y+a} \right)^2 } }}} \right)$

d )

$\vec E = \frac{q} {{4\pi \varepsilon _0 \varepsilon _r }} \cdot \frac{{\vec r}} {{r^3 }}$

$\vec E_1 = \frac{q} {{4\pi \varepsilon _0 \varepsilon _r }} \cdot \frac{{\vec r_1 }} {{r^3 }} = \frac{q} {{4\pi \varepsilon _0 \varepsilon _r }} \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x \\ y-a \\ \end{array} } \right) \cdot \frac{1} {{\left\| {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} x \\ y-a \\ \end{array} } \right)} \right\|^3 }}$

$\vec E_1 = \frac{q} {{4\pi \varepsilon _0 \varepsilon _r }} \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x \\ y-a \\ \end{array} } \right) \cdot \frac{1} {{\left( {\sqrt {x^2 +\left( {y-a} \right)^2 } } \right)^3 }}$

$\vec E_2 = \frac{-q} {{4\pi \varepsilon _0 \varepsilon _r }} \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x \\ y+a \\ \end{array} } \right) \cdot \frac{1} {{\left( {\sqrt {x^2 +\left( {y+a} \right)^2 } } \right)^3 }}$

$\vec E_{ges} = \vec E_1 +\vec E_2 = \frac{q} {{4\pi \varepsilon _0 \varepsilon _r }} \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x \\ y-a \\ \end{array} } \right) \cdot \frac{1} {{\left( {\sqrt {x^2 +\left( {y-a} \right)^2 } } \right)^3 }}$

$-\frac{q} {{4\pi \varepsilon _0 \varepsilon _r }} \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x \\ y+a \\ \end{array} } \right) \cdot \frac{1} {{\left( {\sqrt {x^2 +\left( {y+a} \right)^2 } } \right)^3 }}$

$\vec E_{ges} = \frac{q} {{4\pi \varepsilon _0 \varepsilon _r }} \cdot \left( {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} x \\ y-a \\ \end{array} } \right) \cdot \frac{1} {{\left( {\sqrt {x^2 +\left( {y-a} \right)^2 } } \right)^3 }}-\left( {\begin{array}{*{20}{c}} x \\ y+a \\ \end{array} } \right) \cdot \frac{1} {{\left( {\sqrt {x^2 +\left( {y+a} \right)^2 } } \right)^3 }}} \right)$

e )

Laut Aufgabenstellung gilt:

$\left( {x^2 +y^2 } \right) > > a^2$

Wir wollen nun die Potentiale $\phi_1$ und $\phi_2$ berechnen. Die Formel hierfür ist:

$\phi _i = \frac{1} {{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon _0 }} \cdot \frac{{q_i }} {{r_i }}$

Es müssen also zuerst die Abstände $r_1$ und $r_2$ berechnet werden. Dies geschieht mit dem Satz von Pythagoras.

Zunächst für $\phi_1$ :

$\phi _1 = \frac{1} {{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon _0 }} \cdot \frac{q} {{r_1 }}$

$r_1 = \sqrt {x^2 +\left( {y-a} \right)^2 } = \sqrt {x^2 +y^2 -2ay+a^2 }$

Wir definieren nun zwei neue Variable:

$\rho ^2 = x^2 +y^2 \quad \quad \eta _1 = -2ay+a^2$

eingesetzt:

$\phi _1 = \frac{q} {{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon _0 }} \cdot \frac{1} {{\sqrt {\rho ^2 +\eta _1 } }}$

Nun ziehen wir noch ein $\rho$ aus der Wurzel:

$\phi _1 = \frac{q} {{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon _0 }} \cdot \frac{1} {\rho }\frac{1} {{\sqrt {1+\frac{{\eta _1 }} {{\rho ^2 }}} }}$

Das Potential $\phi_2$ wird berechnet mit:

$\phi _2 = \frac{1} {{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon _0 }} \cdot \frac{{-q}} {{r_2 }}$

$r_2 = \sqrt {x^2 +\left( {y+a} \right)^2 } = \sqrt {x^2 +y^2 +2ay+a^2 }$

$\rho ^2 = x^2 +y^2 \quad \quad \eta _2 = +2ay+a^2$

$\phi _2 = \frac{{-q}} {{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon _0 }} \cdot \frac{1} {{\sqrt {\rho ^2 +\eta _2 } }}$

$\phi _2 = \frac{{-q}} {{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon _0 }} \cdot \frac{1} {\rho }\frac{1} {{\sqrt {1+\frac{{\eta _2 }} {{\rho ^2 }}} }}$

Wir wissen, dass $x^2+y^2 \gg a^2$ . Es gilt daher

$\frac{\eta } {{\rho ^2 }} < < 1$

und wir können mit einer Taylorreihenentwicklung annähren. Wir betrachten den hinteren Faktor, wobei wir annehmen, dass $x$ und $y$ konstant sind und $a$ gegen 0 geht. Daher müssen wir bei den Ableitungen jeweils nach $\eta$ ableiten:

$\frac{1} {{\sqrt {1+\frac{{\eta _2 }} {{\rho ^2 }}} }} = \sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{{f\left( a \right)^{\left( k \right)} }} {{k!}}} \left( {x-a} \right)^k = \sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{{\left( {\left( {1+\frac{\eta } {{\rho ^2 }}} \right)^{-\frac{1} {2}} } \right)^{\left( k \right)} \left( 0 \right)}} {{k!}}} \left( {\eta -0} \right)^k$

Wir entwickeln bis zum 2. Entwicklungsschritt:

$\frac{1} {{\sqrt {1+\frac{{\eta _2 }} {{\rho ^2 }}} }} \approx \sum\limits_{k = 0}^2 {\frac{{\left( {\left( {1+\frac{\eta } {{\rho ^2 }}} \right)^{-\frac{1} {2}} } \right)^{\left( k \right)} \left( 0 \right)}} {{k!}}} \left( \eta \right)^k$

$= 1+\frac{{\overbrace {-\frac{1} {{2\rho ^2 }} \cdot \left( {1+\frac{\eta } {{\rho ^2 }}} \right)^{-\frac{3} {2}} }^{Ableitung\:bei\:a = 0 \to \eta = 0}}} {{1!}} \cdot \eta ^1 +\frac{{3 \cdot \eta ^2 }} {{8 \cdot \rho ^4 }}+O\left( \eta \right)^3$

$= 1-\frac{{\eta ^1 }} {{2\rho ^2 }}+\frac{{3 \cdot \eta ^2 }} {{8 \cdot \rho ^4 }}+O\left( \eta \right)^3$

Die Summanden werden immer kleiner, das Restglied geht gegen 0, wir können die Entwicklung an dieser Stelle abbrechen.

Nun setzen wir das Ergebnis der Taylorreihenentwicklung in die Formel für das Potential ein:

$\phi _1 = \frac{q} {{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon _0 }} \cdot \frac{1} {\rho }\frac{1} {{\sqrt {1+\frac{{\eta _1 }} {{\rho ^2 }}} }} = \frac{q} {{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon _0 }} \cdot \frac{1} {\rho }\left( {1-\frac{{\eta _1 ^1 }} {{2\rho ^2 }}+\frac{{3 \cdot \eta _1 ^2 }} {{8 \cdot \rho ^4 }}+\ldots} \right)$

$\phi _2 = \frac{{-q}} {{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon _0 }} \cdot \frac{1} {\rho }\frac{1} {{\sqrt {1+\frac{{\eta _2 }} {{\rho ^2 }}} }} = \frac{{-q}} {{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon _0 }} \cdot \frac{1} {\rho }\left( {1-\frac{{\eta _2 ^1 }} {{2\rho ^2 }}+\frac{{3 \cdot \eta _2 ^2 }} {{8 \cdot \rho ^4 }}+\ldots} \right)$

$\eta$ einsetzen:

$\phi _1 = \frac{q} {{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon _0 }} \cdot \frac{1} {\rho }\frac{1} {{\sqrt {1+\frac{{\eta _1 }} {{\rho ^2 }}} }} = \frac{q} {{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon _0 }} \cdot \frac{1} {\rho }\left( {1-\frac{{-2ay+a^2 }} {{2\rho ^2 }}+\frac{{3 \cdot \left( {-2ay+a^2 } \right)^2 }} {{8 \cdot \rho ^4 }}+\ldots} \right)$

$= \frac{q} {{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon _0 }} \cdot \frac{1} {\rho }\left( {1+\frac{{ay}} {{\rho ^2 }}-\frac{{a^2 }} {{2\rho ^2 }}+\ldots} \right)$

$\phi _2 = \frac{{-q}} {{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon _0 }} \cdot \frac{1} {\rho }\frac{1} {{\sqrt {1+\frac{{\eta _2 }} {{\rho ^2 }}} }} = \frac{{-q}} {{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon _0 }} \cdot \frac{1} {\rho }\left( {1-\frac{{2ay+a^2 }} {{2\rho ^2 }}+\frac{{3 \cdot \left( {2ay+a^2 } \right)^2 }} {{8 \cdot \rho ^4 }}+\ldots} \right)$

$= \frac{{-q}} {{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon _0 }} \cdot \frac{1} {\rho }\left( {1-\frac{{ay}} {{\rho ^2 }}-\frac{{a^2 }} {{2\rho ^2 }}+\ldots} \right)$

Um das resultierende Potential zu erhalten, summieren wir die beiden Teilpotentiale:

$\phi = \phi _1 +\phi _2 = \frac{q} {{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon _0 }} \cdot \frac{1} {\rho }\left( {1+\frac{{ay}} {{\rho ^2 }}-\frac{{a^2 }} {{2\rho ^2 }}+\ldots} \right)-\frac{q} {{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon _0 }} \cdot \frac{1} {\rho }\left( {1-\frac{{ay}} {{\rho ^2 }}-\frac{{a^2 }} {{2\rho ^2 }}+\ldots} \right)$

$\phi = \frac{q} {{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon _0 }} \cdot \frac{1} {\rho }\left( {2 \cdot \frac{{ay}} {{\rho ^2 }}+\ldots} \right) \approx \frac{q} {{2 \cdot \pi \cdot \varepsilon _0 }} \cdot \frac{{ay}} {{\rho ^3 }}$

Einsetzen der Werte für $\rho$ :

$\phi \approx \frac{q} {{2 \cdot \pi \cdot \varepsilon _0 }} \cdot \frac{{ay}} {{\rho ^3 }} = \frac{q} {{2 \cdot \pi \cdot \varepsilon _0 }} \cdot \frac{{ay}} {{\left( {x^2 +y^2 } \right)^{\frac{3} {2}} }}$

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09.3 – Elektrisches Feld von zwei Punktladungen

Lösung

a )

b )

c )

d )

e )

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