09.4 – Heizspule

Wieviel Windungen eines Chromnickeldrahtes (Durchmesser $d = 1mm$ ) muss eine Heizspule mit einem Durchmesser von $D = 5cm$ haben, wenn ihr Widerstand bei $\theta = 20^{\circ}C$ genau $R = 35 \Omega$ betragen soll? (spezifischer Widerstand: $\rho= 1,1 \cdot 10^{-6} \Omega m$ bei $\theta = 20^{\circ}C$ )
Wie groß ist die spezifische elektrische Leitfähigkeit $\sigma$ ?
Berechnen Sie den Spannungsabfall $U$ , wenn ein Strom von $I = 10 A$ fließen soll. Welche Leistung $P$ wird in dem Draht verbraucht?

Lösung

a )

Gegebene Größen:

$D = 5cm,\quad d = 1mm$

$R = 35\:\Omega \:\left( {20^\circ C} \right)$

$\rho = 1,1 \cdot 10^{-6} \Omega \cdot m\:\left( {20^\circ C} \right)$

Als erstes benötigen wir die Länge des Drahtes in Abhängigkeit der Windungen, dieser ergibt sich aus dem Umfang eines Kreises:

$U_{Kreis} = 2\pi \cdot r$

Wir ersetzen den Radius durch den Durchmesser der Spule, dessen Wert gegeben ist:

$U_{Spule} = \pi \cdot D$

Die Spule besitzt N Windungen, aus diesem Grund werden die einzelnen Kreisumfänge N-mal addiert:

$l_{Draht} = N \cdot \pi \cdot D$

Für den Widerstand eines Drahtes mit dem Querschnitt $A$ und der Länge $l$ ergibt sich:

$R = \frac{{\rho \cdot l}} {A}$

Für die Länge setzen wir den obigen Zusammenhang ein und erhalten:

$R = \frac{{\rho \cdot N \cdot \pi \cdot D}} {A}\quad \Rightarrow \quad N = \frac{{R \cdot A}} {{\rho \cdot \pi \cdot D}}$

Die Querschnittsfläche des Drahtes ergibt sich zu:

$A = \pi \cdot r^2 = \pi \cdot \left( {\frac{d} {2}} \right)^2 = \pi \cdot \frac{{d^2 }} {4}$

Eingesetzt in die Formel für $N$ :

$N = \frac{{R \cdot \pi \cdot d^2 }} {{\rho \cdot \pi \cdot D \cdot 4}} = \frac{{R \cdot d_{_{Draht} }^2 }} {{\rho \cdot D_{Spule} \cdot 4}}$

Einsetzen der gegebenen Werte ergibt:

$N = \frac{{35\:\Omega \cdot \left( {0,001m} \right)^2 }} {{1,1 \cdot 10^{-6} \Omega \cdot m\: \cdot 0,05m \cdot 4}} = 159$

b )

Für die spezifische elektrische Leitfähigkeit $\sigma$ gilt:

$\sigma = \frac{1} {\rho }$

Eingesetzt ergibt:

$\sigma = \frac{1} {{1,1 \cdot 10^{-6} \Omega \cdot m}} = 9,09 \cdot 10^5 \frac{1} {{\Omega \cdot m}}$

c )

Wir beginnen mit der Gleichung aus dem Ohmschen Gesetz:

$R = \frac{U} {I}\quad \Rightarrow \quad U = I \cdot R$

Einsetzen der Werte für $I=10A$ ergibt:

$U = 10A \cdot 35\:\Omega = 350V$

Nun berechnen wir die elektrische Leistung, die durch den Widerstand im Draht verbraucht wird:

$P = U \cdot I = 350V \cdot 10A = 3,5kW$

Ähnliche Artikel

Kommentar verfassen