09.4 – Heizspule

 
  1. Wieviel Windungen eines Chromnickeldrahtes (Durchmesser d = 1mm) muss eine Heizspule mit einem Durchmesser von D = 5cm haben, wenn ihr Widerstand bei \theta = 20^{\circ}C genau R = 35 \Omega betragen soll? (spezifischer Widerstand: \rho= 1,1 \cdot 10^{-6} \Omega m bei \theta = 20^{\circ}C)
  2. Wie groß ist die spezifische elektrische Leitfähigkeit \sigma?
  3. Berechnen Sie den Spannungsabfall U, wenn ein Strom von I = 10 A fließen soll. Welche Leistung P wird in dem Draht verbraucht?

Lösung

a )

Gegebene Größen:

D = 5cm,\quad d = 1mm

R = 35\:\Omega \:\left( {20^\circ C} \right)

\rho = 1,1 \cdot 10^{-6} \Omega \cdot m\:\left( {20^\circ C} \right)

Als erstes benötigen wir die Länge des Drahtes in Abhängigkeit der Windungen, dieser ergibt sich aus dem Umfang eines Kreises:

U_{Kreis} = 2\pi \cdot r

Wir ersetzen den Radius durch den Durchmesser der Spule, dessen Wert gegeben ist:

U_{Spule} = \pi \cdot D

Die Spule besitzt N Windungen, aus diesem Grund werden die einzelnen Kreisumfänge N-mal addiert:

l_{Draht} = N \cdot \pi \cdot D

Für den Widerstand eines Drahtes mit dem Querschnitt A und der Länge l ergibt sich:

R = \frac{{\rho \cdot l}} {A}

Für die Länge setzen wir den obigen Zusammenhang ein und erhalten:

R = \frac{{\rho \cdot N \cdot \pi \cdot D}} {A}\quad \Rightarrow \quad N = \frac{{R \cdot A}} {{\rho \cdot \pi \cdot D}}

Die Querschnittsfläche des Drahtes ergibt sich zu:

A = \pi \cdot r^2 = \pi \cdot \left( {\frac{d} {2}} \right)^2 = \pi \cdot \frac{{d^2 }} {4}

Eingesetzt in die Formel für N:

N = \frac{{R \cdot \pi \cdot d^2 }} {{\rho \cdot \pi \cdot D \cdot 4}} = \frac{{R \cdot d_{_{Draht} }^2 }} {{\rho \cdot D_{Spule} \cdot 4}}

Einsetzen der gegebenen Werte ergibt:

N = \frac{{35\:\Omega \cdot \left( {0,001m} \right)^2 }} {{1,1 \cdot 10^{-6} \Omega \cdot m\: \cdot 0,05m \cdot 4}} = 159

b )

Für die spezifische elektrische Leitfähigkeit \sigma gilt:

\sigma = \frac{1} {\rho }

Eingesetzt ergibt:

\sigma = \frac{1} {{1,1 \cdot 10^{-6} \Omega \cdot m}} = 9,09 \cdot 10^5 \frac{1} {{\Omega \cdot m}}

c )

Wir beginnen mit der Gleichung aus dem Ohmschen Gesetz:

R = \frac{U} {I}\quad \Rightarrow \quad U = I \cdot R

Einsetzen der Werte für I=10A ergibt:

U = 10A \cdot 35\:\Omega = 350V

Nun berechnen wir die elektrische Leistung, die durch den Widerstand im Draht verbraucht wird:

P = U \cdot I = 350V \cdot 10A = 3,5kW

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