Abhängigkeit der Arbeit vom Weg

Beispiel 1-Arbeit ist unabhängig vom Weg

Ein Massestück wird im Schwerefeld der Erde nach oben gezogen:

Hierbei ist es egal, ob er gerade nach oben gezogen wird, oder auf einem Umweg. Um dies zu zeigen, schneiden wir das Massestück frei:

Gewichtskraft:

<br /> \vec F_G = -mg\vec e_z<br />

Geschwindigkeit:

<br /> \dot {\vec r}\left( t \right) = \dot {\vec z}\left( t \right)<br />

Arbeit:

<br /> A_{1 \to 2} = \int_{t_1 }^{t_2 } {\vec F\left( t \right)\dot {\vec r}\left( t \right)dt} = -\int_{t_1 }^{t_2 } {mg\dot {\vec z}\left( t \right)dt}<br />

<br /> A_{1 \to 2} = -mgz\left( {t_2 } \right)+mgz\left( {t_1 } \right) = mg\left( {z_2 -z_1 } \right)<br />

Beispiel 2-Arbeit ist abhängig vom Weg

Ein Massestück wird über eine rauhe Oberfläche gezogen:

Hierbei ist die Arbeit abhängig von der Weglänge, da für einen längeren Weg mehr Reibungsarbeit entsteht. Um dies zu zeigen, schneiden wir das Massestück frei:

Länge der Bahnkurve:

<br /> l_{1 \to 2}<br />

Gleitreibungskraft:

<br /> \vec R = -\mu \left| {\vec G} \right|\frac{{\dot {\vec r}}}<br /> {{\left| {\dot {\vec r}} \right|}}<br />

Zugkraft:

<br /> \vec F = F\frac{{\dot {\vec r}}}<br /> {{\left| {\dot {\vec r}} \right|}}<br />

Gewichtskraft:

<br /> \vec G = -mg\vec e_z<br />

Normalkraft:

<br /> \vec N = N\vec e_z<br />

Gleichgewicht der Kräfte:

<br /> \vec G+\vec N+\vec R+\vec F = \vec 0<br />

Die Kräfte müssen einen geschlossenen Vektorzug ergeben:

Es gilt: G = N, F = R

<br /> N = mg,\quad \quad F = \mu mg<br />

Daraus resultiert für die Arbeit:

<br /> A_{1 \to 2} = \int_{t_1 }^{t_2 } {\vec F\left( t \right)\dot {\vec r}\left( t \right)dt} = \int_{t_1 }^{t_2 } {\mu mg\frac{{\dot {\vec r}}}<br /> {{\left| {\dot {\vec r}} \right|}}\dot {\vec r}dt} = \int_{t_1 }^{t_2 } {\mu mg\left| {\dot {\vec r}} \right|dt}<br />

<br /> A_{1 \to 2} = \int_{t_1 }^{t_2 } {\mu mg\dot s\left( t \right)\:dt = } \mu mg\left( {s\left( {t_2 } \right)-s\left( {t_1 } \right)} \right) = \mu mgl_{1 \to 2}<br />

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