16 – Abkühlen einer Bierflasche im Kühlschrank

 

Eine Bierflasche der Anfangstemperatur {T_a} = 25^\circ C soll auf die Temperatur {T_e} = 12^\circ C abgekühlt werden. Sie wird dazu zur Zeit \tau = 0 in einen Kühlschrank mit der konstanten Innenlufttemperatur {T_L} = 4^\circ C gelegt.

Für die Berechnung des Abkühlvorgangs soll von den folgenden Annahmen ausgegangen werden:

  • Die Temperaturunterschiede innerhalb des Bieres und des Glases sollen ebenso wie der Wärmeübergangswiderstand zwischen Bier und Glas vernachlässigt werden
  • Der Wärmeleitwiderstand des Glases ist wesentlich kleiner als der Wärmeübergangswiderstand zwischen Glas und Luft und kann daher ebenfalls vernachlässigt werden
  • Als abstrahierendes Modell der geometrischen Form der Bierflasche soll ein Zylinder vom Durchmesser {d_a} = 7cm und der Länge L = 21cm dienen
  • Die Stirnflächen des Zylinders sollen als adiabat angenommen werden
  • Der Gitterrost, auf dem die Flasche liegt, soll die Konvektion nicht beeinflussen

Aufgaben:

  1. Bestimmen Sie den örtlich gemittelten Wärmeübergangskoeffizienten \bar h zwischen Zylinderwand und Umgebung in allgemeiner Form
  2. Wie groß ist der maximale Wert \overline {{h_{\max} }} dieses Wärmeübergangskoeffizienten \bar h?
  3. Geben Sie den Wärmeübergangskoeffizienten \bar h als Funktion des maximalen Wertes \overline {{h_{\max} }} und der dimensionslosen Temperaturdifferenz

    \theta \equiv \frac{{T-{T_L}}}{{{T_a}-{T_L}}}

    an

  4. Bestimmen Sie die Differentialgleichung für die zeitliche Änderung der Temperaturdifferenz \Theta aus einer Energiebilanz und entdimensionieren Sie
  5. Lösen Sie diese Differentialgleichung unter Berücksichtigung der genannten Anfangsbedingung
  6. Nach welcher Zeit hat das Bier die gewünschte Temperatur?

Für die freie Konvektion am horizontalen Zylinder gilt die Nußelt-Beziehung

\overline {N{u_l}} = 0.402{\left( {G{r_l}\Pr } \right)^{\frac{1}{4}}}

mit der charakteristischen Länge l = \frac{1}{2}U, wobei U den Umfang des Zylinders bezeichnet. Die benötigten Stoffdaten enthält die folgende Tabelle:

\begin{array}{*{20}{c}}{} &\vline & {Bier} & {Glas} & {Luft} \\ \hline{Masse} &\vline & {{m_B} = 0.5kg} & {{m_G} = 0.3kg} & - \\{spez.\:\:W\ddot armekapazit\ddot at} &\vline & {{c_B} = 4.2\frac{{kJ}}{{kgK}}} & {{c_G} = 0.84\frac{{kJ}}{{kgK}}} & - \\{W\ddot armeleitf\ddot ahigkeit} &\vline & - & - & {{k_L} = 0.026\frac{W}{{m \cdot K}}} \\{kin.\:\:Viskosit\ddot at} &\vline & - & - & {{\nu _L} = 15.1 \cdot {{10}^{-6}}\frac{{{m^2}}}{s}} \\{Temperaturleitf\ddot ahigkeit} &\vline & - & - & {{\alpha _L} = 21.8 \cdot {{10}^{-6}}\frac{{{m^2}}}{s}} \\ \end{array}

Lösung

Erzwungene Konvektion: Nu ist abhängig von Re und Pr.
Freie Konvektion: Nu ist abhängig von Gr und Pr.

\frac{{h \cdot l}}{k} = Nu = f\left( {Gr,\Pr } \right)

Die folgende Skizze zeigt das Modell der liegenden Bierflasche:

kuhlung-bierflasche-skizze

Die umströmte Länge ist orange eingezeichnet.

a )

Den örtlich gemittelten Wärmeübergangskoeffizienten für den Fall freier Konvektion an einem liegenden Zylinder, der eine höhere Oberflächentemperatur als das umgebende Medium besitzt, erhält man aus der angegebenen Nußelt-Beziehung:

N{u_l} = 0,402 \cdot {\left( {G{r_l} \cdot \Pr } \right)^{\frac{1}{4}}} = \frac{{\bar h \cdot L}}{{{k_L}}}\quad \Rightarrow \quad \bar h = \frac{{0,402 \cdot {{\left( {G{r_l} \cdot \Pr } \right)}^{\frac{1}{4}}} \cdot {k_L}}}{L}

Für die Bestimmung der Grashofzahl und der Prandtlzahl muss dabei als charakteristische Länge die umströmte Länge, nämlich der halbe Umfang, eingesetzt werden:

L = \frac{1}{2}U = \frac{{{d_a}\pi }}{2}

Für die Grashofzahl gilt:

Gr = \frac{{Auftriebskraft\:\:Fluid}}{{Viskosit\ddot atskraft}} = \frac{{Tr\ddot agheitskraft \cdot Schwerkraft}}{{{{\left( {Viskosit\ddot atskraft} \right)}^2}}} = \frac{{g \cdot {\beta _k} \cdot \Delta T \cdot {L^3}}}{{{\nu ^2}}}

Diese allgemein gültige Formel wird bei idealem Gas zu

Gr = \frac{{g \cdot {\beta _k} \cdot \frac{{\Delta T}}{{{T_\infty }}} \cdot {L^3}}}{{\nu _L^2}}

Für die Prandtlzahl gilt:

\Pr = \frac{{{\nu _L}}}{{{\alpha _L}}}

Alles einsetzen:

\bar h = \frac{{0,402 \cdot {{\left( {G{r_l} \cdot \Pr } \right)}^{\frac{1}{4}}} \cdot {k_L}}}{L} = \frac{{0,402 \cdot {{\left( {\frac{{g \cdot \frac{{\Delta T}}{{{T_\infty }}} \cdot {L^3}}}{{{\nu ^2}}} \cdot \frac{{{\nu _L}}}{{{\alpha _L}}}} \right)}^{\frac{1}{4}}} \cdot {k_L}}}{L}

Die Temperatur {T_\infty } sehr weit von der Flasche entfernt entspricht der Lufttemperatur {T_L}.

\bar h = \underbrace {\frac{k}{l} \cdot 0,402 \cdot {{\left( {\frac{{g \cdot {L^3}}}{{{T_L} \cdot {\nu _L} \cdot {\alpha _L}}}} \right)}^{\frac{1}{4}}}}_{ = {C_1}} \cdot {\left( {\Delta T} \right)^{\frac{1}{4}}}

Wir fassen die bekannten Werte in einer Konstanten zusammen:

{C_1} = 1,848\frac{W}{{{m^2}{K^{\frac{5}{4}}}}}

\bar h = 1,848\frac{W}{{{m^2}{K^{\frac{5}{4}}}}} \cdot {\left( {T-{T_L}} \right)^{\frac{1}{4}}}

b )

Der maximale mittlere Wärmeübergangskoeffizient tritt bei der maximalen Temperaturdifferenz, also am Anfang des Abkühlvorganges, auf:

{\bar h_{\max} } = 1,848 \cdot {\left( {{T_a}-{T_L}} \right)^{\frac{1}{4}}} = 3,96\frac{W}{{{m^2}K}}

c )

\theta = \frac{{T-{T_L}}}{{{T_a}-{T_L}}}\quad \Rightarrow \quad T = \theta \left( {{T_a}-{T_L}} \right)+{T_L}

Dies setzen wir in die Gleichung für \bar h ein:

\bar h = 1,848 \cdot {\left( {\theta \left( {{T_a}-{T_L}} \right)+{T_L}-{T_L}} \right)^{\frac{1}{4}}}

\bar h = 1,848 \cdot {\left( {\theta \left( {{T_a}-{T_L}} \right)} \right)^{\frac{1}{4}}}

\bar h = {{\bar h}_{\max} } \cdot {\theta ^{\frac{1}{4}}}

d )

Zur Herleitung der Differentialgleichung wird zunächst eine Bilanz für das System „Flasche mit Bier“ erstellt. Hier eine Skizze des Systems mit adiabaten Stirnflächen:

skizze-bierflasche-adiabate-flache

Erster Hauptsatz für geschlossene Systeme:

\frac{{dU}}{{dt}} = \sum {\dot Q} +\underbrace {\sum {\dot W} }_{ = 0}\quad \Rightarrow \quad \frac{{dU}}{{dt}} = -\dot Q

Es wird keine technische Arbeit geleistet und die Änderung der inneren Energie mit der Zeit lautet:

\frac{{dU}}{{dt}} = \underbrace {\left( {{m_{Glas}} \cdot {c_{Glas}}+{m_B} \cdot {c_B}} \right)}_{ = :{W_{ges}}} \cdot \frac{{dT}}{{dt}}

Für den Wärmestrom durch Konvektion gilt:

\dot Q = \bar h \cdot A \cdot \left( {T-{T_L}} \right),\quad \quad A = d \cdot \pi \cdot L

Als dimensionsbehaftete Differentialgleichung ergibt sich:

{W_{ges}} \cdot \frac{{dT}}{{dt}} = -\bar h \cdot A \cdot \left( {T-{T_L}} \right)

Wir setzen nun die dimensionslose Temperatur ein, die in der Aufgabenstellung gegeben ist:

{W_{ges}} \cdot \frac{{\left( {{T_a}-{T_L}} \right)d\theta }}{{dt}} = -\bar h \cdot A \cdot \left( {\theta \left( {{T_a}-{T_L}} \right)+{T_L}-{T_L}} \right)

{W_{ges}} \cdot \frac{{\left( {{T_a}-{T_L}} \right)}}{{\left( {{T_a}-{T_L}} \right)}}\frac{{d\theta }}{{dt}} = -\bar h \cdot A \cdot \theta

\frac{{d\theta }}{{dt}}+\frac{{\bar h \cdot A}}{{{W_{ges}}}} \cdot \theta = 0

\frac{{d\theta }}{{dt}}+\frac{{{{\bar h}_{\max} } \cdot A}}{{{W_{ges}}}} \cdot {\theta ^{\frac{1}{4}}} \cdot \theta = 0

\frac{{d\theta }}{{dt}}+\frac{{{{\bar h}_{\max} } \cdot A}}{{{W_{ges}}}} \cdot {\theta ^{\frac{5}{4}}} = 0

Wir brauchen nun noch die dimensionslose Zeit. Gewünscht ist, dass eine DGL der Form

\frac{{d\theta }}{{d\tau }}+{\theta ^{\frac{5}{4}}} = 0

Herauskommt, wir müssen daher die dimensionslose Zeit geschickt wählen:

\frac{{d\theta }}{{dt}}+\frac{{{{\bar h}_{\max} } \cdot A}}{{{W_{ges}}}} \cdot {\theta ^{\frac{5}{4}}} = \frac{{d\theta }}{{d\tau }}+{\theta ^{\frac{5}{4}}}

\quad \Rightarrow \quad dt = d\tau \cdot \frac{{{W_{ges}}}}{{{{\bar h}_{\max} } \cdot A}}\quad \Rightarrow \quad \tau : = \frac{{{{\bar h}_{\max} } \cdot A}}{{{W_{ges}}}} \cdot t

Damit erhalten wir die gewünschte dimensionslose Differentialgleichung.

e )

Zur Lösung der Differentialgleichung führen wir eine Trennung der Variablen durch und integrieren:

\frac{{d\theta }}{{d\tau }}+{\theta ^{\frac{5}{4}}} = 0\quad \Rightarrow \quad \frac{{d\theta }}{{d\tau }} = -{\theta ^{\frac{5}{4}}}\quad \Rightarrow \quad d\theta = -{\theta ^{\frac{5}{4}}} \cdot d\tau \quad \Rightarrow \quad {\theta ^{-\frac{5}{4}}} \cdot d\theta = -d\tau

\int {{\theta ^{-\frac{5}{4}}} \cdot d\theta } = -\int {d\tau }

-4 \cdot {\theta ^{-\frac{1}{4}}} = -\tau +C\quad \Rightarrow \quad 4 = {\theta ^{\frac{1}{4}}} \cdot \left( {\tau -C} \right)\quad \Rightarrow \quad \theta = {\left( {\frac{4}{{\tau -C}}} \right)^4}

Anfangsbedingung:

T\left( {t = 0} \right) = {T_a}\quad \Rightarrow \quad \theta = \frac{{{T_a}-{T_L}}}{{{T_a}-{T_L}}} = 1

1 = {\left( {\frac{4}{{-C}}} \right)^4}\quad \Rightarrow \quad C = -4

\theta = {\left( {\frac{4}{{\tau +4}}} \right)^4}

Die Anfangsbedingung ließe sich auch mit C = 4 erfüllen, dann würden aber keine sinnvollen Ergebnisse für die Zeit herauskommen.

f )

\theta = \frac{{12^\circ C-4^\circ C}}{{25^\circ C-4^\circ C}} = 0,381 = {\left( {\frac{4}{{{\tau _{Ziel}}+4}}} \right)^4}\quad \Rightarrow \quad {\tau _{Ziel}} = 1,09

t = {\tau _{Ziel}} \cdot \frac{{{W_{ges}}}}{{{{\bar h}_{\max} } \cdot A}} = {\tau _{Ziel}} \cdot \frac{{{W_{ges}}}}{{{{\bar h}_{\max} } \cdot {d_a} \cdot \pi \cdot L}}

t = 1,09 \cdot \frac{{0,3kg \cdot 849\frac{J}{{kg \cdot K}}+0,5kg \cdot 4200\frac{J}{{kg \cdot K}}}}{{3,96\frac{W}{{{m^2}K}} \cdot 0,07m \cdot \pi \cdot 0,21m}} = 14035s = 3,9h

In den letzten Jahren ist nie eine Aufgabe drangekommen, in der man mit der Grasshoffzahl rechnen musste.

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9 Kommentare zu “16 – Abkühlen einer Bierflasche im Kühlschrank”

bei Aufgabe f) ist ein Zahlendreher bei tau_Ziel, das muss 1,09 heißen, nicht 1,90.

Danke für den Hinweis, habs korrigiert.

hi, ließe sich die formel auch auf mehrere flaschen anwenden? was müsste angepasst werden?

Schöne Herleitung. Ich versuche das Beispiel gerade für eine stehende Flasche zu rechnen, also mit charakteristischer Länge L=Höhe Flasche=21 cm. Beim nachrechnen deiner Beziehungen bekomme ich unter Teilaufgabe a) für c1 nicht denselben Wert. Und steht das kleine L auch für die charakteristische Länge?

@daniel: Mehrere Flaschen kühlen genauso schnell ab wie eine, vorausgesetzt der Kühlschrank ist stark genug.

@Chris: Ja, das ist etwas verwirrend mit dem kleinen und großen L. Sie stehen beide für das Gleiche. Zu C_1:

{C_1} = \frac{k}{l} \cdot 0,402{\left( {\frac{{g{L^3}}}{{{T_L}{\nu _L}{\alpha _L}}}} \right)^{\frac{1}{4}}} = \frac{{0,026}}{{\frac{{0,07\pi }}{2}}} \cdot 0,402{\left( {\frac{{9,81 \cdot {{\left( {\frac{{0,07\pi }}{2}} \right)}^3}}}{{277,15 \cdot 15,1 \cdot {{10}^{ - 6}} \cdot 21,8 \cdot {{10}^{ - 6}}}}} \right)^{\frac{1}{4}}} = 1,84831

Denk dran, die Temperatur in Kelvin und den Durchmesser in Meter einzusetzen ;)

Auch von mir: schöne Herleitung! Ich frage mich gerade, ob sich die Formeln auch auf verwandte Aufgabenstellungen anwenden lassen und was man dabei noch beachten müsste:
a) Ich erwärme Wasser (vielleicht nicht gerade die Falsche Bier) in einem stehenden Zylinder in einem Ofen.
b) Die Stirn- und Mantelfläche des Zylinders sind ungefähr gleich groß. Ich denke da an eine dicke Scheibe (ein Steak). Kann in diesem Fall die Stirnseite noch als adiabat angenommen? Eigentlich müsste die gesamte Oberfläche mit in die Herleitung einbezogen werden.

Im Prinzip ist das schon ein ähnliches Problem. Beim Ofen muss man wahrscheinlich besonders auf die Wärmeübertragung durch Strahlung (Heizstäbe!) achten. Wenn die Mantelfläche genauso groß ist wie die Stirnfläche, darf man die Stirnfläche nicht vernachlässigen. Auch sind bei einem Steak natürlich die Konstanten anders als bei Glas und Wasser. Und für einen stehenden Zylinder gilt eine andere Nußelt-Beziehung als für einen liegenden.

Schöne Herleitung. Ich versuche gerade das Beispiel für die stehende Flasche zu berechnen und komme nicht weiter. Könnte mir jemand mit der Formel für C1 weiterhelfen?

@Chris: Wo bei der Formel brauchst du denn Hilfe?

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