16.2 – Abschätzung mit Wärmeleitgleichung

 

Wir wollen die Wärmeleitgleichung

{u_t}-\Delta u = 0\quad \left( {x,t} \right) \in \Omega \times \left( {0,T} \right)

u\left( {x,0} \right) = {u_0}\quad x \in \Omega

die Abschätzung

E\left( t \right) = \int\limits_\Omega {{u^2}\left( { \cdot ,t} \right)d\omega } \leq \int\limits_\Omega {u_0^2d\omega } = E\left( 0 \right)

für verschiedene Randbedingungen zeigen.

a )

Zeigen Sie die Abschätzungen für homogene Dirichletrandbedingungen

u\left( {x,t} \right) = 0\quad \left( {x,t} \right) \in \partial \Omega \times \left( {0,T} \right)

indem Sie E\left( t \right) nach t differenzieren.

b )

Zeigen Sie die Abschätzung für homogene Neumannrandbedingungen

\frac{{\partial u\left( {x,t} \right)}}{{\partial n}} = 0\quad \left( {x,t} \right) \in \partial \Omega \times \left( {0,T} \right)

indem Sie E\left( t \right) nach t differenzieren.

Lösung

a )

{E^\prime }\left( t \right) = \frac{d}{{dt}}\int\limits_\Omega {{u^2}\left( { \cdot ,t} \right)d\omega } = \int\limits_\Omega {\frac{\partial }{{\partial t}}{u^2}\left( { \cdot ,t} \right)d\omega }

\quad = \int\limits_\Omega {2u\left( { \cdot ,t} \right) \cdot {u_t}\left( { \cdot ,t} \right)d\omega }

\quad \overbrace = ^{{u_t} = \Delta u}2 \cdot \int\limits_\Omega {u\left( { \cdot ,t} \right) \cdot \Delta u\left( { \cdot ,t} \right)d\omega }

\quad = \underbrace {2\int\limits_\Gamma {u\frac{{\partial u}}{{\partial n}}dS} } \underbrace {-\underbrace {2\int\limits_\Omega {\nabla u\nabla u\:d\omega } }_{ \geq 0}}_{ \leq 0} \leq 0

\Rightarrow E\left( t \right) \leq E\left( 0 \right)

für Dirichlet RBs

b )

Neumann Randbedingungen \frac{{\partial u}}{{\partial n}} = 0

Die Rechnung bleibt gleich. Das Randintegral ist wieder gleich Null wegen der RB \frac{{\partial u}}{{\partial n}} = 0

E\left( t \right) \leq E\left( 0 \right)

Wofür ist das Ganze jetzt nützlich?

{u_t}-\Delta u = 0

u\left( { \cdot ,0} \right) = 0

Dann ist

E\left( 0 \right) = \int\limits_\Omega {{0^2}d\omega } = 0

E\left( t \right) = \int\limits_\Omega {{u^2}d\omega } \leq 0

E\left( t \right) kann nicht kleiner 0 werden, da {u^2} nie kleiner 0 werden kann und E\left( t \right) \leq 0 gilt kann nur E\left( t \right) = 0 gelten. Demnach gibt es nur Lösungen der Art u \equiv 0.

Jetzt können wir eine Aussage über die Eindeutigkeit des Neumannproblems mit Nulldaten abgeben.

Aufgrund der Eindeutigkeit folgt für {u_0} beliebig:
Seien v,w Lösungen zum Anfangswert {u_0}, Neumann RB
Dann ist:

v-w:

{\left( {v-w} \right)_t}-\Delta \left( {v-w} \right) = 0

\left( {v-w} \right)\left( { \cdot ,0} \right) = 0

\Rightarrow v-w \equiv 0

\Rightarrow v = w

Damit ist das Neumannproblem eindeutig Lösbar für parabolische Partielle Differentialgleichungen.
Bei elliptischen Partiellen Differentialgleichungen mit -\Delta u = 0 ist dies nicht der Fall, dort haben wir -\Delta u+cu = 0 mit c \geq 0 gebraucht.

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