05.3 – Abstand von der Erde auf verschiedenen Bahnen

 

Ein Raumfahrzeug werde in 600km Höhe über der Erde horizontal eingeschossen und soll mindestens den Abstand {r_1} = {10^6}km zur Erde erreichen. Wie groß muss die Einschussgeschwindigkeit sein, wenn die Bahn eine

a )

Ellipse mit dem Apogäumsabstand {r_1} bzw. 2{r_1}

b )

Hyperbel mit der Exzentrizität e = 1,2 bzw. e = 2

c )

Parabel sein soll?

d )

Wie lange dauert der Flug auf den Ellipsenbahnen vom Perigäum zum Abstand {r_1}?

e )

Welche Geschwindigkeit hat das Raumfahrzeug im Abstand {r_1} in den betrachteten Fällen?

Lösung

r = {R_E}+{h_B} = 6378km+600km = 6978km

{r_1} = {10^6}km

a )

rs-ellipse-parameter-simpel

v = \sqrt {\mu \left( {\frac{2}{r}-\frac{1}{a}} \right)} \quad \quad a = \frac{{{r_A}+{r_P}}}{2}

v = \sqrt {\mu \left( {\frac{2}{{{r_P}}}-\frac{2}{{{r_A}+{r_P}}}} \right)}

Erste Ellipse:

v\left( {{r_A} = {r_1}} \right) = 10650\frac{m}{s}

Zweite Ellipse:

v\left( {{r_A} = 2{r_1}} \right) = 10670\frac{m}{s}

b )

{e_1} = 1,2\quad \quad {e_2} = 2

v = \sqrt {\mu \left( {\frac{2}{r}-\frac{1}{a}} \right)} \quad \quad a = \frac{{{r_P}}}{{1-e}}

v = \sqrt {\mu \left( {\frac{2}{{{r_P}}}-\frac{{1-e}}{{{r_P}}}} \right)} = \sqrt {\mu \frac{{1+e}}{{{r_P}}}}

v\left( {e = 1,2} \right) = 11210\frac{m}{s}

v\left( {e = 2} \right) = 13090\frac{m}{s}

c )

e = 1\quad \quad a = \infty

v = \sqrt {\frac{{2\mu }}{{{r_P}}}} = 10690\frac{m}{s}

d )

rs-exzentrische-anomalie

\theta: wahre Anomalie
E: exzentrische Anomalie

\sqrt {\frac{{\mu \left( {1+\frac{m}{M}} \right)}}{{{a^3}}}} \left( {t-{t_0}} \right) \approx \sqrt {\frac{\mu }{{{a^3}}}} \left( {t-{t_0}} \right)

\sqrt {\frac{\mu }{{{a^3}}}} \left( {t-{t_0}} \right) = E\left( t \right)-e\sin \left( {E\left( t \right)} \right)-E\left( {{t_0}} \right)+e\sin \left( {E\left( {{t_0}} \right)} \right)

r = a\left( {1-e\cos \left( E \right)} \right)

E = \arccos \left( {\frac{{a-r}}{{ae}}} \right)

Ellipse 1: {r_A} = {r_1}

E\left( {{t_0}} \right) = 0^\circ = 0\pi

{a_1} = \frac{{{r_{a1}}+{r_P}}}{2}

E\left( t \right) = E\left( {{r_1}} \right) = \arccos \left( {\frac{{{a_1}-{r_1}}}{{ae}}} \right) = 180^\circ = 1\pi

\Delta t = t-{t_0} = \sqrt {\frac{{a_1^3}}{\mu }} \left( {E\left( t \right)-e\sin \left( {E\left( t \right)} \right)-\underbrace {E\left( {{t_0}} \right)}_{ = 0}+\underbrace {e\sin \left( {E\left( {{t_0}} \right)} \right)}_{ = 0}} \right) = 20,6d

Ellipse 2: {r_A} = 2{r_1}

E\left( {{t_0}} \right) = 0^\circ = 0\pi

E\left( t \right) = E\left( {{r_1}} \right) = 89,8^\circ = 0,499\pi

\Delta {t_2} = 10,6d

e )

v = \sqrt {\mu \left( {\frac{2}{r}-\frac{1}{a}} \right)}

Ellipse 1: v\left( {r = {r_1},\:\:{r_A} = {r_1}} \right) = \sqrt {\mu \left( {\frac{2}{{{r_1}}}-\frac{2}{{{r_p}+{r_A}}}} \right)} = 74,3\frac{m}{s}

Ellipse 2: v\left( {r = {r_1},\:\:{r_A} = 2{r_1}} \right) = \sqrt {\mu \left( {\frac{2}{{{r_1}}}-\frac{2}{{{r_p}+{r_A}}}} \right)} = 632\frac{m}{s}

Hyperbel 1: v\left( {r = {r_1},\:\:e = 1,2} \right) = \sqrt {\mu \left( {\frac{2}{{{r_1}}}-\frac{{1-e}}{{{r_p}}}} \right)} = 3500\frac{m}{s}

Hyperbel 2: v\left( {r = {r_1},\:\:e = 2} \right) = \sqrt {\mu \left( {\frac{2}{{{r_1}}}-\frac{{1-e}}{{{r_p}}}} \right)} = 7610\frac{m}{s}

Parabel: v = \sqrt {\frac{{2\mu }}{{{r_1}}}} = 893\frac{m}{s}

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2 Kommentare zu “05.3 – Abstand von der Erde auf verschiedenen Bahnen”

Ein Fehler in Aufgabe e)

Ellipse 2: Unter der Wurzel muss stehen: …. 2/r1 … Ergebnis stimmt aber!

Danke für den Hinweis, wurde korrigiert.

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