05.3 – Abstand von der Erde auf verschiedenen Bahnen

Ein Raumfahrzeug werde in 600km Höhe über der Erde horizontal eingeschossen und soll mindestens den Abstand ${r_1} = {10^6}km$ zur Erde erreichen. Wie groß muss die Einschussgeschwindigkeit sein, wenn die Bahn eine

a )

Ellipse mit dem Apogäumsabstand ${r_1}$ bzw. $2{r_1}$

b )

Hyperbel mit der Exzentrizität $e = 1,2$ bzw. $e = 2$

c )

Parabel sein soll?

d )

Wie lange dauert der Flug auf den Ellipsenbahnen vom Perigäum zum Abstand ${r_1}$ ?

e )

Welche Geschwindigkeit hat das Raumfahrzeug im Abstand ${r_1}$ in den betrachteten Fällen?

Lösung

$r = {R_E}+{h_B} = 6378km+600km = 6978km$

${r_1} = {10^6}km$

a )

rs-ellipse-parameter-simpel

$v = \sqrt {\mu \left( {\frac{2}{r}-\frac{1}{a}} \right)} \quad \quad a = \frac{{{r_A}+{r_P}}}{2}$

$v = \sqrt {\mu \left( {\frac{2}{{{r_P}}}-\frac{2}{{{r_A}+{r_P}}}} \right)}$

Erste Ellipse:

$v\left( {{r_A} = {r_1}} \right) = 10650\frac{m}{s}$

Zweite Ellipse:

$v\left( {{r_A} = 2{r_1}} \right) = 10670\frac{m}{s}$

b )

${e_1} = 1,2\quad \quad {e_2} = 2$

$v = \sqrt {\mu \left( {\frac{2}{r}-\frac{1}{a}} \right)} \quad \quad a = \frac{{{r_P}}}{{1-e}}$

$v = \sqrt {\mu \left( {\frac{2}{{{r_P}}}-\frac{{1-e}}{{{r_P}}}} \right)} = \sqrt {\mu \frac{{1+e}}{{{r_P}}}}$

$v\left( {e = 1,2} \right) = 11210\frac{m}{s}$

$v\left( {e = 2} \right) = 13090\frac{m}{s}$

c )

$e = 1\quad \quad a = \infty$

$v = \sqrt {\frac{{2\mu }}{{{r_P}}}} = 10690\frac{m}{s}$

d )

rs-exzentrische-anomalie

$\theta$ : wahre Anomalie
E: exzentrische Anomalie

$\sqrt {\frac{{\mu \left( {1+\frac{m}{M}} \right)}}{{{a^3}}}} \left( {t-{t_0}} \right) \approx \sqrt {\frac{\mu }{{{a^3}}}} \left( {t-{t_0}} \right)$

$\sqrt {\frac{\mu }{{{a^3}}}} \left( {t-{t_0}} \right) = E\left( t \right)-e\sin \left( {E\left( t \right)} \right)-E\left( {{t_0}} \right)+e\sin \left( {E\left( {{t_0}} \right)} \right)$

$r = a\left( {1-e\cos \left( E \right)} \right)$

$E = \arccos \left( {\frac{{a-r}}{{ae}}} \right)$

Ellipse 1: ${r_A} = {r_1}$

$E\left( {{t_0}} \right) = 0^\circ = 0\pi$

${a_1} = \frac{{{r_{a1}}+{r_P}}}{2}$

$E\left( t \right) = E\left( {{r_1}} \right) = \arccos \left( {\frac{{{a_1}-{r_1}}}{{ae}}} \right) = 180^\circ = 1\pi$

$\Delta t = t-{t_0} = \sqrt {\frac{{a_1^3}}{\mu }} \left( {E\left( t \right)-e\sin \left( {E\left( t \right)} \right)-\underbrace {E\left( {{t_0}} \right)}_{ = 0}+\underbrace {e\sin \left( {E\left( {{t_0}} \right)} \right)}_{ = 0}} \right) = 20,6d$