Aufgabe 1.1 – Abtastsystem für kontinuierliches Zustandsraummodell 1

 

Gegeben ist eine Regelstrecke mit dem dynamischen Verhalten eines PT1-Gliedes, beschrieben durch das Zustandsraummodell

\dot {\vec x}\left( t \right) = -\frac{1}{{{T_1}}}\vec x\left( t \right)+\frac{1}{{{T_1}}}u\left( t \right),\quad \quad \vec x\left( 0 \right) = {{\vec x}_0}

y\left( t \right) = {k_S}\vec x\left( t \right)

Berechnen Sie das zugehörige Abtastsystem für eine allgemeine Abtastzeit T.

Lösung 1.1

Ein Abtastsystem hat allgemein den folgenden Aufbau:

{{\vec x}_{k+1}} = {A_d}{{\vec x}_k}+{{\vec b}_d}{u_k}

{y_k} = \vec c_d^T{{\vec x}_k}+{{\vec d}_d}{u_k}

Dabei wird mit der ersten Gleichung iterativ der Systemzustand berechnet und mit der zweiten Gleichung die Ausgabegröße (siehe Artikel über dynamische Systemmodelle).

Die digitalen Parameter lassen sich aus den analogen wie im Artikel über die Struktur digitaler Regelkreise beschrieben berechnen:

{A_d} = {e^{AT}},

{{\vec b}_d} = \int_0^T {{e^{A\tau }}d\tau } \cdot \vec b

{{\vec c}_d} = \vec c

{{\vec d}_d} = \vec d

Im Falle dieser Aufgabe ist:

A = -\frac{1}{{{T_1}}},\quad \quad \vec b = b = \frac{1}{{{T_1}}},\quad \quad {\vec c^T} = \vec c = c = {k_S},\quad \vec d = d = 0

Einsetzen:

{A_d} = {e^{-\frac{T}{{{T_1}}}}}

{b_d} = \int_0^T {{e^{-\frac{\tau }{{{T_1}}}}}d\tau } \cdot \frac{1}{{{T_1}}} = \frac{1}{{{T_1}}}\int_0^T {{e^{-\frac{1}{{{T_1}}}\tau }}d\tau }

= \frac{1}{{{T_1}}} \cdot \left[ {-{T_1}{e^{-\frac{1}{{{T_1}}}\tau }}} \right]_0^T = \frac{1}{{{T_1}}} \cdot \left( {-{T_1}{e^{-\frac{T}{{{T_1}}}}}+{T_1}{e^0}} \right) = 1-{e^{-\frac{T}{{{T_1}}}}}

c_d^T = {k_S}

{d_d} = 0

Wir erhalten für das Abtastsystem:

{x_{k+1}} = {e^{-\frac{T}{{{T_1}}}}}{x_k}+\left( {1-{e^{-\frac{T}{{{T_1}}}}}} \right){u_k}

{y_k} = {k_S}{x_k}

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