Aufgabe 1.2 – Abtastsystem für kontinuierliches Zustandsraummodell 2

 

Gegeben ist eine Regelstrecke in Form des kontinuierlichen Zustandsraummodells

\dot {\vec x}\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{-1} & 1 \\ 0 & {-1} \\ \end{array} } \right)\vec x\left( t \right)+\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ 1 \\ \end{array} } \right)u\left( t \right),\quad \vec x\left( 0 \right) = {{\vec x}_0}

y\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2 & 1 \\ \end{array} } \right) \cdot \vec x\left( t \right)

Bestimmen Sie das zugehörige Abtastsystem für die Abtastzeit T = 0,1.

Hinweis:

Mit Hilfe der Laplace-Transformation und der Formel {e^{At}} \circ - \bullet {\left( {s \cdot I-A} \right)^{-1}} können Sie eine analytische Darstellung für {e^{AT}} gewinnen.

Es gilt: {e^{-0,1}} = 0,905

Lösung 1.2

Als erstes führen wir für die Zustands-DGL eine Laplace-Transformation durch. Anschließend stellen wir die Gleichung nach \vec X\left( s \right) um und machen die Rücktransformation:

\dot {\vec x}\left( t \right) = A\vec x\left( t \right)+\vec bu\left( t \right)

\circ - \bullet

s\vec X\left( s \right)-{{\vec x}_0} = A\vec X\left( s \right)+\vec bU\left( s \right)

\Rightarrow \quad \left( {sI-A} \right) \cdot \vec X\left( s \right) = {{\vec x}_0}+\vec bU\left( s \right)

\Rightarrow \quad \vec X\left( s \right) = {\left( {sI-A} \right)^{-1}}{{\vec x}_0}+{\left( {sI-A} \right)^{-1}}\vec bU\left(s \right)

\bullet - \circ

x\left( t \right) = {e^{At}}{{\vec x}_0}+\int_0^t {{e^{A\left( {t-\tau } \right)}}\vec bu\left( \tau \right)d\tau }

Das Integral ist das Faltungsintegral. Erinnerung: Multiplikation im Bildbereich entspricht Faltung im Zeitbereich!

Nun zur Aufgabenstellung. Es müssen wie schon in Aufgabe 1.1 die vier Parameter des Abtastsystems berechnet werden. Wir nutzen dazu die bekannten Formeln:

{A_d} = {e^{AT}},

{{\vec b}_d} = \int_0^T {{e^{A\tau }}d\tau } \cdot \vec b

{{\vec c}_d} = \vec c

{{\vec d}_d} = \vec d

Wir berechnen zuerst die Systemmatrix {A_d}. Dabei nutzen wir aus, dass {e^{At}} \circ - \bullet {\left( {s \cdot I-A} \right)^{-1}} gilt. Die Inverse berechnen wir mit dem ME-MTS-Schema:

{A_d} = {e^{AT}},\quad {e^{At}} = {e^{\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{-1} & 1 \\ 0 & {-1} \\ \end{array} } \right)\:t}}

\circ - \bullet

{e^{At}} = {\left( {s \cdot I-A} \right)^{-1}} = {\left( {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} s & 0 \\ 0 & s \\ \end{array} } \right)-\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{-1} & 1 \\ 0 & {-1} \\ \end{array} } \right)} \right)^{-1}}

= {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{s+1} & {-1} \\ 0 & {s+1} \\ \end{array} } \right)^{-1}}

= \frac{1}{{{{\left( {s+1} \right)}^2}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{s+1} & 1 \\ 0 & {s+1} \\ \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{{s+1}}} & {\frac{1}{{{{\left( {s+1} \right)}^2}}}} \\ 0 & {\frac{1}{{s+1}}} \\ \end{array} } \right)

\bullet - \circ

{e^{At}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{e^{-t}}} & {t{e^{-t}}} \\ 0 & {{e^{-t}}} \\ \end{array} } \right)\quad \Rightarrow \quad {A_d} = {\left. {{e^{At}}} \right|_{t = T}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{e^{-T}}} & {T{e^{-T}}} \\ 0 & {{e^{-T}}} \\ \end{array} } \right)

Wir setzen nun den Wert T = 0,1 aus der Aufgabenstellung ein:

{A_d} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{0,905} & {0,0905} \\ 0 & {0,905} \\ \end{array} } \right)

Nun brauchen wir noch {\vec b_d}. Wir müssen hierzu das Integral auswerten:

{{\vec b}_d} = \int_0^T {{e^{A\tau }}d\tau } \cdot \vec b = \int_0^T {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{e^{-\tau }}} & {\tau {e^{-\tau }}} \\ 0 & {{e^{-\tau }}} \\ \end{array} } \right)d\tau } \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ 1 \\ \end{array} } \right)

= \int_0^T {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{e^{-\tau }}} & {\tau {e^{-\tau }}} \\ 0 & {{e^{-\tau }}} \\ \end{array} } \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ 1 \\ \end{array} } \right)d\tau } = \int_0^T {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\tau {e^{-\tau }}} \\{{e^{-\tau }}} \\ \end{array} } \right)d\tau } = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\int_0^T {\tau {e^{-\tau }}d\tau } } \\{\int_0^T {{e^{-\tau }}d\tau } } \\ \end{array} } \right)

Nebenrechnung für die beiden Integrale:

\int_0^T {{e^{-\tau }}d\tau } = \left. {-{e^{-\tau }}} \right|_0^T = -{e^{-T}}+1 = 1-{e^{-T}}

\int_0^T {\tau {e^{-\tau }}d\tau } = \left. {\tau \left( {-{e^{-\tau }}} \right)} \right|_0^T-\int_0^T {1\left( {-{e^{-\tau }}} \right)d\tau } = \left. {-\tau {e^{-\tau }}} \right|_0^T+\int_0^T {{e^{-\tau }}d\tau }

= -T{e^{-T}}-0 \cdot 1+1-{e^{-T}} = 1-{e^{-T}}-T{e^{-T}}

Wenn wir dies einsetzen, erhalten wir:

{\vec b_d} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{1-{e^{-T}}-T{e^{-T}}} \\{1-{e^{-T}}} \\ \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{1-0,905-0,905} \\{1-0,905} \\ \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{0,004} \\{0,095} \\ \end{array} } \right)

Für die letzten beiden Parameter ergibt sich:

{\vec c_d} = \vec c = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2 \\ 1 \\ \end{array} } \right),\quad {\vec d_d} = \vec d = 0