Gegeben ist eine Regelstrecke in Form des kontinuierlichen Zustandsraummodells
Bestimmen Sie das zugehörige Abtastsystem für die Abtastzeit .
Hinweis:
Mit Hilfe der Laplace-Transformation und der Formel können Sie eine analytische Darstellung für
gewinnen.
Es gilt:
Lösung 1.2
Als erstes führen wir für die Zustands-DGL eine Laplace-Transformation durch. Anschließend stellen wir die Gleichung nach um und machen die Rücktransformation:
Das Integral ist das Faltungsintegral. Erinnerung: Multiplikation im Bildbereich entspricht Faltung im Zeitbereich!
Nun zur Aufgabenstellung. Es müssen wie schon in Aufgabe 1.1 die vier Parameter des Abtastsystems berechnet werden. Wir nutzen dazu die bekannten Formeln:
Wir berechnen zuerst die Systemmatrix . Dabei nutzen wir aus, dass
gilt. Die Inverse berechnen wir mit dem ME-MTS-Schema:
Wir setzen nun den Wert aus der Aufgabenstellung ein:
Nun brauchen wir noch . Wir müssen hierzu das Integral auswerten:
Nebenrechnung für die beiden Integrale:
Wenn wir dies einsetzen, erhalten wir:
Für die letzten beiden Parameter ergibt sich: