v2.5 – Allgemeine Konvergenztheorie für Differenzenverfahren

 

2.5.1 Aufgabenstellung

Gegeben sind die Banach-Räume (linear, normiert, vollständig) X und Y und ein invertierbarer linearer Operator A:X \mapsto Y. Gesucht ist zu gegebenem F \in Y dasjenige Element U \in X, für das gilt: AU = F

2.5.2 Diskretisierung

Zur Diskretisierung von X, Y und A verwenden wir endlichdimensionale normierte Räume {X_h} und {Y_h}, sowie den Operator {A_h}:{X_h} \mapsto {Y_h}. Nach Wahl einer Basis in {X_h} und {Y_h} wird {A_h} durch eine Matrix repräsentiert.

Für die weitere Theorie führen wir Restriktionsoperatoren (Projektoren)

{R_h}:X \to {X_h} und {Q_h}:Y \mapsto {Y_h}

sowie die Erweiterungsoperatoren (Interpolatoren, Prolongatoren)

{I_h}:{X_h} \to X und {E_h}:{Y_h} \mapsto Y

ein. Die Gleichung AU = F wird durch {A_h}{U_h} = {F_h}: = {Q_h}F approximiert:

num-204-beziehungen-interpolator-restriktion-abbildung

2.5.3 Diskrete Konvergenz

Der Diskretisierungsfehler in der diskreten Norm wird über

{\left\| {{U_h}-{R_h}U} \right\|_{{X_h}}} = {\left\| {A_h^{-1}\left( {{A_h}{U_h}-{A_h}{R_h}U} \right)} \right\|_{{X_h}}}

\leq {\left\| {A_h^{-1}} \right\|_{{Y_h} \to {X_h}}}{\left\| {{A_h}{U_h}-{A_h}{R_h}U} \right\|_{{Y_h}}}

auf die Abschätzung des Konsistenzfehlers

{\left\| {{A_h}{U_h}-{A_h}{R_h}U} \right\|_{{Y_h}}} = {\left\| {{F_h}-{A_h}{R_h}U} \right\|_{{Y_h}}} \leq C{h^\alpha }

und die Sicherung der Stabilität der Approximation

{\left\| {A_h^{-1}} \right\|_{{Y_h} \to {X_h}}} \leq {C_S}

zurückgeführt.

Es folgt dann

{\left\| {{U_h}-{R_h}U} \right\|_{{X_h}}} \leq {C_S}C{h^\alpha }

Dabei gilt

{\left\| {A_h^{-1}} \right\|_{{Y_h} \to {X_h}}}: = \sup \limits_{{F_h} \in {Y_h}} \frac{{{{\left\| {A_h^{-1}{F_h}} \right\|}_{{X_h}}}}}{{{{\left\| {{F_h}} \right\|}_{{Y_h}}}}} = \sup \limits_{{F_h} \in {Y_h}} \frac{{{{\left\| {{U_h}} \right\|}_{{X_h}}}}}{{{{\left\| {{F_h}} \right\|}_{{Y_h}}}}}

Es ist also {\left\| {{U_h}} \right\|_{{X_h}}} \leq {C_S}{\left\| {{F_h}} \right\|_{{Y_h}}} für beliebige {F_h} \in {Y_h} mit einer von {F_h} und h unabhängigen Konstanten {C_S} zu zeigen.

2.5.4 Konvergenz im Stetigen

Den Diskretisierungsfehler in der Norm des Raumes X erhält man daraus über

{\left\| {U-{I_h}{U_h}} \right\|_X} \leq {\left\| {U-{I_h}{R_h}U} \right\|_X}+{\left\| {{I_h}{R_h}U-{I_h}{U_h}} \right\|_X}

\leq {\left\| {U-{I_h}{R_h}U} \right\|_X}+{\left\| {{I_h}} \right\|_{X \to {X_h}}}{\left\| {{R_h}U-{U_h}} \right\|_{{X_h}}}

Der erste Term stellt einen Interpolationsfehler dar, wobei zusätzlich gesichert werden muss, dass {R_h} mit {I_h} verträglich ist. Für den zweiten Summanden benötigt man die Beschränktheit des Interpolationsoperators und die Abschätzung des Diskretisierungsfehlers in der diskreten Norm von oben.