Analysis I Fragenkatalog zur Klausurvorbereitung

 

Frage 1 – Extensionalitätsaxiom

Was ist das Extensionalitätsaxiom?

Antwort 1

Zwei Mengen M und N sind genau dann gleich, wenn sie die gleichen Elemente enthalten.

Frage 2 – Rechenregeln der Mengenlehre

Mathematische Schreibweise für die folgenden Rechenregeln der Mengenlehre:
Assoziativgesetz
Kommutativgesetz
Distributivgesetz

Antwort 2

Assoziativgesetz:

A \cap \left( {B \cap C} \right) = \left( {A \cap B} \right) \cap C

A \cup \left( {B \cup C} \right) = \left( {A \cup B} \right) \cup C

Kommutativgesetz:

A \cap B = B \cap A,\quad A \cap \emptyset = \emptyset

A \cup B = B \cup A,\quad A \cap \emptyset = A

Distributivgesetz:

\left( {A \cap B} \right) \cup C = \left( {A \cup C} \right) \cap \left( {B \cup C} \right)

\left( {A \cup B} \right) \cap C = \left( {A \cap C} \right) \cup \left( {B \cap C} \right)

Frage 3 – Kreuzprodukt

Mathematische Definition für das Kreuzprodukt oder das kartesische Produkt

Antwort 3

M \times N: = \:\left\{ {\left( {x,y} \right)|x \in M,\quad y \in N} \right\}

Frage 4 – Komposition aus Mengen

Mathematische Definition für die Komposition S \circ R aus den Mengen A, B, C

Antwort 4

R \subseteq A \times B,\quad S \subseteq B \times C

S \circ R: = \left\{ {\left( {x,z} \right) \in A \times C|\exists \:y \in B:\left( {x,y} \right) \in R,\:\left( {y,z} \right) \in S} \right\}

Frage 5 – Definition der inversen Relation

Mathematische Definition der inversen Relation

Antwort 5

R \subseteq A \times B,\quad {R^{-1}} \subseteq B \times A

{R^{-1}}: = \:\left\{ {\left( {b,a} \right) \in B \times A|\left( {a,b} \right) \in R} \right\}

Frage 6 – Funktion

Definition einer Funktion

Antwort 6

R ist eine Funktion von A nach B, wenn es zu jedem x \in A genau ein y \in B gibt mit \left( {x,y} \right) \in R.
Dann schreibt man auch R:A \to B. Das zu x \in A eindeutig bestimmte y \in B mit xRy wird mit y = R\left( x \right) geschrieben.

Frage 7 – Surjektiv, Injektiv, Bijektiv

Definitionen von:
Surjektiv
Injektiv
Bijektiv

Antwort 7

Eine Funktion heißt

Surjektiv, wenn es zu jedem y \in B ein x \in A gibt mit f\left( x \right) = y

Injektiv, wenn für alle x, x’ gilt: sind x und x’ verschieden, so sind auch f\left( x \right) und f\left( {x'} \right) verschieden.

Bijektiv, wenn sie surjektiv und injektiv ist

Frage 8 – Arten von Axiomen

Was für Arten von Axiomen gibt es im Körper der reellen Zahlen?

Antwort 8

  • Körperaxiome: Axiome für das Rechnen mit reellen Zahlen
  • Anordnungsaxiome: Axiome für das Vergleichen von reellen Zahlen
  • Ein Vollständigkeitsaxiom

Frage 9 – Körperaxiome für Addition

Wie lauten die vier Körperaxiome der reellen Zahlen für die Addition?

Antwort 9

Für x,y,z \in \mathbb{K}:

  • Assoziativität von +: \left( {x+y} \right)+z = x+\left( {y+z} \right)
  • Neutralität der 0: x+0 = x
  • Kommutativität von +: x+y = y+x
  • Existenz des Inversen: \forall x \in \mathbb{K}\:\exists \:y \in \mathbb{K}:x+y = 0

Frage 10 – Körperaxiome für Multiplikation

Wie lauten die vier Körperaxiome der reellen Zahlen für die Multiplikation?

Antwort 10

Für x,y,z \in \mathbb{K}:

  • Assoziativität von *: \left( {x \cdot y} \right) \cdot z = x \cdot \left( {y \cdot z} \right)
  • Neutralität der 1: 1 \cdot x = x
  • Kommutativität von *: x \cdot y = y \cdot x
  • Existenz des Inversen: \forall x \in \mathbb{K}\backslash \left\{ 0 \right\}\:\exists \:y \in \mathbb{K}:x \cdot y = 1

Frage 11 – Distributivität und das Vollständigkeit

Wie lauten das Axiom der Distributivität und das Vollständigkeitsaxiom der reellen Zahlen?

Antwort 11

Für x,y,z \in \mathbb{K}:

Distributivität: \left( {x+y} \right) \cdot z = x \cdot z+y \cdot z

Vollständigkeitsaxiom:

Jede nichtleere nach oben beschränkte Teilmenge von \mathbb{K} hat ein Supremum in \mathbb{K}.

Frage 12 – Anordnungsaxiome

Wie lauten die Anordnungsaxiome für die reellen Zahlen?

Antwort 12

Für x,y,z \in \mathbb{K}:

  • Trichotomie: Für je zwei x,y \in \mathbb{K} gilt jeweils genau eine der drei folgenden Möglichkeiten: x < y,\:\:x = y,\:\:x > y
  • Transitivität: x < y,\:\:y < z \Rightarrow x < z
  • Monotonie von +: x < y \Rightarrow x+z < y+z
  • Monotonie von *: x < y,\:0 < z \Rightarrow x \cdot z < y \cdot z

Frage 13 – Betrages einer reellen Zahl

Was sind die drei wichtigsten Eigenschaften des Betrages einer reellen Zahl?

Antwort 13

Für x,y,z \in \mathbb{K}:

  • \left| x \right| \geq 0,\quad \left| x \right| = 0 \Rightarrow x = 0
  • Multiplikativität: \left| {x \cdot y} \right| = \left| x \right| \cdot \left| y \right|
  • Dreiecksungleichung: \left| {x+y} \right| \leq \left| x \right|+\left| y \right| (äquivalent: \left| {x-z} \right| \leq \left| {x-y} \right|+\left| {y-z} \right|)

Frage 14 – Grenzwert einer Folge

Wann konvergiert eine Folge {\left( {{a_n}} \right)_n} gegen den Grenzwert a?

Antwort 14

Die Folge {\left( {{a_n}} \right)_n} konvergiert gegen a, wenn:

\forall \varepsilon > 0\:\exists \:{n_0}:\left| {a-{a_n}} \right| < \varepsilon ,\quad n \geq {n_0}

Frage 15 – Rechenregeln für Grenzwerte

Wie lauten die Rechenregeln für Grenzwerte?

Antwort 15

Für konvergente Folgen {\left( {{a_n}} \right)_n},{\left( {{b_n}} \right)_n} und c \in \mathbb{R}

  • \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } c \cdot {a_n} = c \cdot \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n}
  • Für die Rechenoperationen \oplus \in \left\{ {+,-, \cdot } \right\}: \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {{a_n} \oplus {b_n}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} \oplus \:\:\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {b_n}
  • Für {b_n} \ne 0,\quad \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {b_n} \ne 0: \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {{a_n}/{b_n}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n}/\:\:\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {b_n}
  • \exists {n_1}:{a_n} \leq {b_n}\forall n \geq {n_1} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} \leq \:\:\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {b_n}

Frage 16 – (strenge) Monotonie einer Folge

Wann heißt eine Folge (streng) monoton wachsend, wann (streng) monoton fallend?

Antwort 16

Eine Folge {\left( {{a_n}} \right)_n} heißt

  • (streng) monoton wachsend, wenn {a_n} \leq {a_{n+1}} ({a_n} < {a_{n+1}}) \forall n \in \mathbb{N}
  • (streng) monoton fallend, wenn {a_n} \geq {a_{n+1}} ({a_n} > {a_{n+1}}) \forall n \in \mathbb{N}

Frage 17 – Konvergenz

Wann sind monotone Folgen konvergent?

Antwort 17

Eine monoton wachsende Folge ist genau dann konvergent, wenn sie nach oben beschränkt ist.

Eine monoton fallende Folge ist genau dann konvergent, wenn sie nach unten beschränkt ist.

Frage 18 – Cauchyfolgen

Sind Cauchyfolgen konvergent?

Antwort 18

Eine Folge {\left( {{a_n}} \right)_n} reeller Zahlen ist genau dann konvergent, wenn sie eine Cauchyfolge ist.

Auch im Körper der komplexen Zahlen sind Cauchyfolgen konvergent.

Beweis durch Intervallschachtelung („in der Hälfte ist immernoch unendlich“)

Frage 19 – Reihen

Was ist eine Reihe?

Antwort 19

Eine Reihe ist die Summe der Folgeglieder einer Folge. Es gilt:

{s_n}: = \sum\limits_{i = 0}^\infty {{a_i}}

{s_n} wird als n-te Partialsumme bezeichnet.

Frage 20 – konvergente und eine divergente Reihen

Was ist ein Beispiel für eine konvergente und eine divergente Reihe? (mit Namen)

Antwort 20

Konvergent: geometrische Reihe:

\sum\limits_{n = 0}^\infty {{q^n}} ,\quad \left| q \right| < 1

Divergent: harmonische Reihe:

\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{1}{{n+1}}}

Frage 21 – Rechenregeln für Reihen

Wie lauten die Rechenregeln für die Addition von Reihen und die Multiplikation mit einem Skalar?

Antwort 21

\sum\limits_n {{a_n}} und \sum\limits_n {{b_n}} konvergent

\Rightarrow \sum\limits_n {\left( {{a_n}+{b_n}} \right)} = \sum\limits_n {{a_n}} +\sum\limits_n {{b_n}} konvergent

\Rightarrow \sum\limits_n {c \cdot {a_n}} = c \cdot \sum\limits_n {{a_n}} ,\quad c \in \mathbb{R} konvergent

Merke: \sum\limits_n {{a_n}} konvergent \Rightarrow {a_n} \to 0

Frage 22 – Konvergenzkriterien für Reihen

Wie heißen die vier wichtigsten Konvergenzkriterien für Reihen?

Antwort 22

  • Cauchysches KK
  • Leibnizsches KK
  • Majorantenkriterium
  • Quotientenkriterium

Frage 23 – Cauchysches Konvergenzkriterium

Wie lautet das Cauchysche Konvergenzkriterium?

Antwort 23

Eine Reihe konvergiert genau dann, wenn es für jede reelle Zahl \varepsilon > 0 eine natürliche Zahl {n_0} gibt, so dass für alle natürlichen Zahlen n, m mit n \geq m \geq {n_0} gilt:

\left| {{a_{m+1}}+{a_{m+2}}+...+{a_n}} \right| < \varepsilon

(Die Summe aller Folgeglieder ab einem bestimmten Folgeglied ist kleiner als \varepsilon)

Frage 24-Leibnizsches Konvergenzkriterium

Wie lautet das Leibnizsche Konvergenzkriterium?

Antwort 24

Jede alternierende Reihe, deren Folge monoton fällt und gegen 0 konvergiert, ist konvergent.

(Alternierend: Abwechselnd positiv / negativ)

Frage 25 – Majorantenkriterium

Wie lautet das Majorantenkriterium?

Antwort 25

Sei \sum\limits_n {{b_n}} eine konvergente Reihe mit nichtnegativen Gliedern und sei {\left( {{a_n}} \right)_n} eine Folge mit \left| {{a_n}} \right| \leq {b_n}\:\:\forall n. Dann konvergiert die Reihe \sum\limits_n {{a_n}} absolut und es gilt

\sum\limits_n {{a_n}} \leq \sum\limits_n {{b_n}}

Frage 26 – Quotientenkriterium

Wie lautet das Quotientenkriterium?

Antwort 26

Sei \sum\limits_n {{a_n}} eine Reihe und gebe es eine Zahl q mit 0 < q < 1 und eine Zahl {n_0}, so dass gilt:

{a_n} \ne 0,\:\:\left| {\frac{{{a_{n+1}}}}{{{a_n}}}} \right| \leq q,

dann konvergiert die Reihe \sum\limits_n {{a_n}} absolut.

Achtung: Nicht für Divergenz verwenden!

Frage 27 – absolute Konvergenz

Was bedeutet es, wenn eine Folge absolut konvergent ist?
Ist sie dann auch konvergent?
Gilt auch der Umkehrschluss?

Antwort 27

Eine Reihe heißt absolut konvergent, wenn auch der Betrag ihrer Folgeglieder konvergiert.
Eine absolut konvergente Reihe ist immer auch konvergent.
Eine konvergente Reihe ist nicht immer absolut konvergent, z.B. ist die folgende Reihe konvergent, aber nicht absolut konv.:

\sum\limits_{n \geq 1}^\infty {\frac{{{{\left( {-1} \right)}^n}}}{n}}

Frage 28 – Cauchyprodukt

Definition des Cauchyproduktes von Reihen

Antwort 28

Seien \sum\limits_n {{a_n}}und \sum\limits_n {{b_n}} zwei absolut konvergente Reihen. Für n \in \mathbb{N} sei {c_n}: = \sum\limits_{i = 0}^n {{a_i} \cdot {b_{n-i}}}. Dann konvergiert auch die Reihe \sum\limits_n {{c_n}}absolut und es gilt:

\sum\limits_n {{c_n}} = \left( {\sum\limits_n {{a_n}} } \right) \cdot \left( {\sum\limits_n {{b_n}} } \right)

Frage 29 – Fakultät

Definition von n! (Fakultät)

Antwort 29

Rekursive Definition:

0! = 1
\left( {n+1} \right)! = n!\: \cdot \left( {n+1} \right)

Also n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot n

Frage 30 – Binomialkoffezient

Definition des Binomialkoffezienten

Antwort 30

Für zwei natürliche Zahlen n,k mit n \geq k wird der Binomialkoeffizient \left( {\begin{array}{*{20}{c}} n \\ k \\ \end{array} } \right), gelesen „n über k“, definiert durch

\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n \\ k \\ \end{array} } \right): = \frac{{n!}}{{k!\:\: \cdot \:\left( {n-k} \right)!}}

Frage 31 – Eigenschaften des Binomialkoeffizienten

Was sind die wichtigsten Eigenschaften des Binomialkoeffizienten?

Antwort 31

\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n \\ 0 \\ \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} n \\ n \\ \end{array} } \right) = 1,\quad \left( {\begin{array}{*{20}{c}} n \\ k \\ \end{array} } \right) \in \mathbb{N}\forall 0 \leq k \leq n

\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n \\ k \\ \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} n \\{n-k} \\ \end{array} } \right)

\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n \\ k \\ \end{array} } \right)+\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n \\{k+1} \\ \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{n+1} \\{k+1} \\ \end{array} } \right)

Frage 32 – binomischer Lehrsatz

Wie lautet der binomische Lehrsatz?

Antwort 32

Für alle x,y \in \mathbb{R},\quad n \in N gilt:

{\left( {x+y} \right)^n} = \sum\limits_{i = 0}^n {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n \\ i \\ \end{array} } \right)} \cdot {x^{n-i}}{y^i}

Frage 33 – Exponentialfunktion

Definition der Exponentialfunktion

Antwort 33

Die Exponentialfunktion \exp :\mathbb{R} \to \mathbb{R} ist definiert durch:

\exp \left( x \right) = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{x^n}}}{{n!}}}

Frage 34 – Eigenschaften der Exponentialfunktion

Was sind die wichtigsten Eigenschaften der Exponentialfunktion?

Antwort 34

  • Y-Achsenabschnitt: \exp \left( 0 \right) = 1
  • Ist streng monoton wachsend
  • Funktionswerte immer positiv
  • Additionstheorem: \exp \left( {x+y} \right) = \exp \left( x \right) \cdot \exp \left( y \right)
  • Stetig und beliebig oft differenzierbar
  • \exp '\left( x \right) = \exp \left( x \right)
  • \left| {\exp \left( x \right)-1} \right| \leq 2 \cdot \left| x \right|\:\:\forall \left| x \right| \leq 0,5

Frage 35 – Stetigkeit von Funktionen

Folgenkriterium für die Stetigkeit von Funktionen

Antwort 35

Für jede Folge {\left( {{a_n}} \right)_n} in D, die gegen a konvergiert, gilt: die Folge {\left( {f\left( {{a_n}} \right)} \right)_n} konvergiert gegen f\left( a \right).

Frage 36 – Epsilon-Delta-Charakterisierung

Wie lautet die Epsilon-Delta-Charakterisierung für die Stetigkeit von Funktionen?

Antwort 36

Zu jedem \varepsilon > 0 gibt es ein \delta > 0, so dass für alle x \in D gilt: wenn \left| {x-a} \right| < \delta, dann ist \left| {f\left( x \right)-f\left( a \right)} \right| < \varepsilon

„vollmathematisch“:
\forall \varepsilon > 0\:\:\exists \:\:\delta > 0:\left| {f\left( x \right)-f\left( a \right)} \right| < \varepsilon \:\:\forall x:\left| {x-a} \right| < \delta

Frage 37 – Stetigkeit

Wann ist eine Funktion stetig?

Was darf man mit Funktionen machen, damit sie stetig bleiben?

Antwort 37

Eine Funktion ist stetig, wenn sie in jedem Punkt stetig ist. Sie bleibt stetig, wenn man sie mit einer anderen stetigen Funktion addiert, subtrahiert oder multipliziert. Wenn die zweite Funktion immer ungleich 0 ist, darf auch durch sie dividiert werden.

Frage 38 – Polynomfunktionen

Was sind Polynomfunktionen?
Was sind rationale Funktionen?
Sind sie stetig?

Antwort 38

Eine Polynomfunktion ist eine Funktion, die durch p\left( x \right) = {a_0}{x^0}+{a_1}{x^1}+...+{a_n}{x^n} definiert ist.
Jede Polynomfunktion ist stetig.

Eine rationale Funktion ist der Quotient aus zwei Polynomfunktionen. Jede rationale Funktion ist auf ihrem Definitionsbereich stetig.

Frage 39 – Zwischenwertsatz

Was besagt der Zwischenwertsatz?

Antwort 39

Sei D \subseteq \mathbb{R}, sei f:D \to \mathbb{R} eine stetige Funktion, und sei \left[ {a,b} \right] ein abgeschlossenes Intervall mit \left[ {a,b} \right] \in D. Dann nimmt f auf\left[ {a,b} \right] alle Werte zwischen f\left( a \right) und f\left( b \right) an.

Frage 40 – Umkehrfunktion

Was ist eine Umkehrfunktion?
Wann ist eine Umkehrfunktion stetig?

Antwort 40

Die Umkehrfunktion {f^{-1}}\left( x \right) ist die Spiegelung der Funktion f\left( x \right) an der Geraden y = x.

Sei I ein Intervall und f:I \to \mathbb{R} streng monoton und stetig auf I. Sei J: = f\left( I \right). Dann ist die Umkehrfunktion{f^{-1}}:J \to I auch stetig.

Frage 41 – spezielle Umkehrfunktionen

Was ist die Umkehrfunktion der Funktionen

f\left( x \right) = {x^n}
g\left( x \right) = {e^x}

Antwort 41

{f^{-1}}\left( x \right) = \sqrt[n]{x}
{g^{-1}}\left( x \right) = \ln \left( x \right)

Frage 42 – natürlicher Logarithmus

Wie lauten die Rechenregeln für den natürlichen Logarithmus?

Antwort 42

\ln \left( {x \cdot y} \right) = \ln x+\ln y,\quad \ln \left( {\frac{x}{y}} \right) = \ln x-\ln y

n\left( {{x^r}} \right) = r \cdot \ln x

\ln \left( {\frac{1}{x}} \right) = -\ln x

\ln \sqrt[n]{x} = \ln \left( {{x^{\frac{1}{n}}}} \right) = \frac{1}{n} \cdot \ln x

\ln \left( {x \leq 0} \right) ist nicht definiert

Frage 43 – Teilfolge

Was ist eine Teilfolge?

Antwort 43

Ist {\left( {{a_n}} \right)_n} eine Folge und T:\mathbb{N} \to \mathbb{N} eine streng monoton wachsende Funktion, so ist die Folge {\left( {{a_{t\left( n \right)}}} \right)_n}eine Teilfolge der Folge {\left( {{a_n}} \right)_n}. Wenn {\left( {{a_n}} \right)_n} konvergiert, dann auch {\left( {{a_{t\left( n \right)}}} \right)_n}.

Beispiel: t\left( n \right) = 2n \Rightarrow {\left( {{a_{t\left( n \right)}}} \right)_n} = {a_0},{a_2},{a_4},...

Frage 44 – Satz von Bolzano-Weierstrass

Wie lautet der Satz von Bolzano-Weierstrass?

Antwort 44

Jede beschränkte Folge reeller Zahlen besitzt eine konvergente Teilfolge.

Frage 45 – abgeschlossenes Intervall

Was gilt für jede stetige Funktion auf einem abgeschlossenen Intervall \left[ {a,b} \right]?

Antwort 45

Das Intervall f\left( {\left[ {a,b} \right]} \right) ist nach oben und unten beschränkt.

Es gibt die Stellen {x_{\max }} \in \left[ {a,b} \right] mit f\left( {{x_{\max }}} \right) = \sup \left( {f\left( {\left[ {a,b} \right]} \right)} \right), {x_{\min }} \in \left[ {a,b} \right]
mit f\left( {{x_{\min }}} \right) = \inf \left( {f\left( {\left[ {a,b} \right]} \right)} \right).

Frage 46 – Gleichmäßige Stetigkeit

Wann ist eine Funktion gleichmäßig stetig?

Antwort 46

Sei D \subseteq \mathbb{R} und f:D \to \mathbb{R} eine Funktion. Dann heißt f gleichmäßig stetig auf D, wenn zu jedem \varepsilon > 0 ein \delta > 0 existiert, so dass für alle x,y \in D gilt:

\left| {x-y} \right| < \delta \to \left| {f\left( x \right)-f\left( y \right)} \right| < \varepsilon

Mathematisch:

\forall \varepsilon > 0\exists \delta > 0:\left| {f\left( x \right)-f\left( y \right)} \right| < \varepsilon

\forall x,y \in D:\left| {x-y} \right| < \delta

Frage 47 – Grenzwert

Wann hat eine Funktion den Grenzwert \mathop {\lim }\limits_{x \to a,x \ne a} f\left( x \right) = b?

Antwort 47

Sei D \subseteq \mathbb{R}, f:D \to \mathbb{R} eine Funktion und a,b \in \mathbb{R}. Der Grenzwert \mathop {\lim }\limits_{x \to a,x \ne a} f\left( x \right) = b existiert, wenn

  • a Grenzwert mindestens einer Folge in D\backslash \left\{ a \right\} ist und
  • für jede gegen a konvergente Folge {\left( {{a_n}} \right)_n} in D\backslash \left\{ a \right\} gilt: \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } f\left( {{a_n}} \right) = b

Frage 48 – uneigentlicher Grenzwert

Was ist ein uneigentlicher Grenzwert?

Antwort 48

Wenn eine Funktion für x-Werte, die gegen unendlich streben, immer höher wird und die Funktionswerte somit jede beliebige Zahl übersteigen, so gilt: \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( x \right) = \infty . Das \infty wird in diesem Fall als uneigentlicher Grenzwert bezeichnet.

Frage 49 – Grenzwert

Wann hat eine Funktion den Grenzwert \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( x \right) = b?

Antwort 49

Wir schreiben \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( x \right) = b, wenn:

  • Für jede Folge {\left( {{a_n}} \right)_n} in D, die gegen \infty konvergiert, gilt: \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } f\left( {{a_n}} \right) = b
  • Es zu jedem \varepsilon > 0 ein S \geq A gibt, so dass für alle x > S gilt: \left| {f\left( x \right)-b} \right| < \varepsilon

Frage 50 – Differenzenquotient

Wie lautet die Definition des Differenzenquotienten?

Antwort 50

Sei f:D \to \mathbb{R} und a \in D. Der Differenzenquotient \frac{{f\left( x \right)-f\left( a \right)}}{{x-a}}
für x \in D\backslash \left\{ a \right\} ist die Steigung der Sekante, die durch die Punkte \left( {a,f\left( a \right)} \right) und \left( {x,f\left( x \right)} \right) läuft. (Tangente für x \to a)

Frage 51 – Differentialquotient

Wie lautet die Definition des Differentialquotienten?

Antwort 51

Sei D \subseteq \mathbb{R} und f:D \to \mathbb{R} eine Funktion und a \in D ein innerer Punkte von D. Wenn der Grenzwert

f'\left( a \right): = \mathop {\lim }\limits_{x \to a,x \ne a} \frac{{f\left( x \right)-f\left( a \right)}}{{x-a}}

existiert, so nennen wir ihn den Differentialquotienten oder die Ableitung der Funktion f im Punkt a.

Andere Form: \mathop {\lim }\limits_{h \to 0,h \ne 0} \frac{{f\left( {x+h} \right)-f\left( x \right)}}{h}

Frage 52 – Differenzierbarkeit

Wann ist eine Funktion im Punkt a differenzierbar?

Antwort 52

Wenn der Grenzwert

f'\left( a \right): = \mathop {\lim }\limits_{x \to a,x \ne a} \frac{{f\left( x \right)-f\left( a \right)}}{{x-a}}

existiert.

Frage 53 – Rechenregeln für Ableitungen

Wie lauten die wichtigsten Rechenregeln für Ableitungen?

Antwort 53

Konstanter Summand und Faktor:

\left( {x+a} \right)' = x'\quad \left( {x \cdot a} \right)' = a \cdot x'

Produktregel: f\left( x \right) \cdot g\left( x \right) = f' \cdot g+f \cdot g'

Quotientenregel: \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \frac{{f' \cdot g-f \cdot g'}}{{{g^2}}}

Kettenregel: f\left( {g\left( x \right)} \right) = f'\left( {g\left( x \right)} \right) \cdot g'\left( x \right)

Frage 54 – Regel von de l’ Hospital

Was besagt die Regel von de l’ Hospital?

Antwort 54

Seien f und g differenzierbar auf einem offenen Intervall I. Sei a \in I. Es gelte

f\left( a \right) = g\left( a \right) = 0,\:g\left( x \right) \ne 0\forall x \in I\backslash \left\{ a \right\},\:g'\left( a \right) \ne 0

Dann gilt:

\mathop {\lim }\limits_{x \to a,x \ne a} \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \frac{{f'\left( a \right)}}{{g'\left( a \right)}}

Frage 55 – Lokales Extremum

Definition (striktes) lokales Maximum bzw Minimum

Antwort 55

Sei D \subseteq \mathbb{R} und f:D \to \mathbb{R} eine Funktion, a \in D. Man sagt, dass f in a ein lokales Maximum hat, wenn gilt:

\exists \varepsilon > 0:f\left( a \right) \geq f\left( x \right)\forall x \in \left] {a-\varepsilon ,a+\varepsilon } \right[ \cap D

Striktes Maximum:

\exists \varepsilon > 0:f\left( a \right) > f\left( x \right)\forall x \in \left] {a-\varepsilon ,a+\varepsilon } \right[ \cap D

Minimum analog

Frage 56 – Globales Extremum

Wann ist ein lokales Extremum ein globales?

Antwort 56

Wenn die jeweilige Bedingung, zum Beispiel f\left( a \right) \geq f\left( x \right), nicht nur für Punkte in unmittelbarer Umgebung von a gilt, sondern für alle Punkte x \in D

Frage 57 – Satz von Rolle

Was besagt der Satz von Rolle?

Antwort 57

Sei a < b. Sei f:\left[ {a,b} \right] \to \mathbb{R} stetig mit f\left( a \right) = f\left( b \right). Außerdem sei f auf dem offenen Intervall \left] {a,b} \right[ differenzierbar. Dann gibt es einen Punkt c \in \left] {a,b} \right[ mit f'\left( c \right) = 0.

Frage 58 – Mittelwertsatz

Wie lautet der Mittelwertsatz?

Antwort 58

Sei a < b. Sei f:\left[ {a,b} \right] \to \mathbb{R}. Außerdem sei f auf dem offenen Intervall \left] {a,b} \right[ differenzierbar. Dann gibt es einen Punkt c \in \left] {a,b} \right[ mit f'\left( c \right) = \frac{{f\left( b \right)-f\left( a \right)}}{{b-a}}.
(Die Funktion nimmt auf dem Intervall irgendwo ihre mittlere Steigung an).

Frage 59 – Bedingung für ein lokales Maximum

Was ist die notwendige, was die hinreichende Bedingung für ein lokales Maximum?

Antwort 59

Für die Stelle a gelten die folgenden Bedingungen, damit ein Maximum existiert:

Notwendige Bedingung:
f'\left( a \right) = 0

Hinreichende Bedingung:
f''\left( a \right) < 0

Frage 60 – Schreibweisen für komplexe Zahlen

Wie lauten die verschiedenen Schreibweisen für komplexe Zahlen?

Antwort 60

\left( {x,y} \right) = \left( {x,0} \right)+\left( {0,y} \right)

= \left( {x,0} \right)+\left( {0,1} \right) \cdot \left( {y,0} \right)

= x+iy

Frage 61 – Addition und Multiplikation der komplexen Zahlen

Definition der Addition und Multiplikation der komplexen Zahlen

Antwort 61

Addition:

\left( {u,v} \right)+\left( {x,y} \right) = \left( {u+x,v+y} \right)

Multiplikation:

\left( {u,v} \right) \cdot \left( {x,y} \right) = \left( {u \cdot x-v \cdot y,\:\:u \cdot y+v \cdot x} \right)

Frage 62 – Inverse der komplexen Zahlen

Was sind additive und multiplikative Inverse der komplexen Zahlen?

Antwort 62

additiv: \left( {x,y} \right)+\left( {-x,-y} \right) = \left( {0,0} \right)

multiplikativ: \left( {x,y} \right) \cdot \left( {\frac{x}{{{x^2}+{y^2}}},\frac{{-y}}{{{x^2}+{y^2}}}} \right) = \left( {1,0} \right)

Frage 63 – Konjugierte einer komplexen Zahl

Was ist die Konjugierte einer komplexen Zahl?

Antwort 63

Die Konjugierte ist die komplexe Zahl mit umgekehrtem Vorzeichen zwischen Real- und Imaginärteil:

z = x+iy \Rightarrow \bar z = x-iy

Frage 64 – Betrag einer komplexen Zahl

Wie wird der Betrag einer komplexen Zahl berechnet?

Antwort 64

Der Betrag ist die Wurzel des Produktes aus der komplexen Zahl und ihrer Konjugierten (immer reell):

\left| z \right| = \sqrt {z \cdot \bar z}

Frage 65 – Folge komplexer Zahlen

Wann konvergiert eine Folge komplexer Zahlen?

Antwort 65

Die Folge {\left( {{z_n}} \right)_n} komplexer Zahlen konvergiert genau dann, wenn die Folge {\left( {\left| {z-{z_n}} \right|} \right)_n} reeller Zahlen gegen 0 konvergiert.

Frage 66 – Sinus- und Cosinusfunktion

Was ist die Definition der komplexen Sinus- bzw. Cosinusfunktion?

Antwort 66

\cos \left( z \right) = \frac{{{e^{iz}}+{e^{-iz}}}}{2}
\sin \left( z \right) = \frac{{{e^{iz}}-{e^{-iz}}}}{{2i}}

oder:

\cos \left( z \right) = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\left( {{{\left( {-1} \right)}^n} \cdot \frac{{{z^{2n}}}}{{\left( {2n} \right)!}}} \right)}

\sin \left( z \right) = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\left( {{{\left( {-1} \right)}^n} \cdot \frac{{{z^{2n+1}}}}{{\left( {2n+1} \right)!}}} \right)}

Frage 67 – Eulersche Formel

Wie lautet die Eulersche Formel?

Antwort 67

{e^{iz}} = \cos \left( z \right)+i \cdot \sin \left( z \right)

Frage 68 – komplexe Exponentialfunktion

Was gilt für ein reelles x bei {\left| {{e^{ix}}} \right|^2} ?

Antwort 68

{\left| {{e^{ix}}} \right|^2} = {e^{ix}} \cdot \mathop {{e^{ix}}}\limits_{}^{{\text{\_\_}}} = {e^{ix}} \cdot {e^{-ix}} = {e^{ix-ix}} = {e^0} = 1

Frage 69 – Additionstheoreme

Wie lauten die folgenden Additionstheoreme?

\cos \left( {z+w} \right)

\sin \left( {z+w} \right)

Antwort 69

\cos \left( {z+w} \right) = \cos \left( z \right) \cdot \cos \left( w \right)-\sin \left( z \right) \cdot \sin \left( w \right)

\sin \left( {z+w} \right) = \sin \left( z \right) \cdot \cos \left( w \right)+\cos \left( z \right) \cdot \sin \left( w \right)

Frage 70 – Definition von Pi

Definition von Pi über den Cosinus

Antwort 70

Die Zahl \pi sei definiert als das Zweifache der eindeutig bestimmten Nullstelle von cos im Intervall ]0, 2[, d.h.

\cos \left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0,\quad \frac{\pi }{2} \in \left] {0,2} \right[

Frage 71 – Spezielle Ableitungen

Ableitungen:

\arcsin '\left( t \right)

\arccos '\left( t \right)

Antwort 71

\arcsin '\left( t \right) = \frac{1}{{\sqrt {1-{t^2}} }}

\arccos '\left( t \right) = -\frac{1}{{\sqrt {1-{t^2}} }}

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