4.1 – Analytische Bestimmung der Eigenfrequenz eines Balkens

 

Auszug aus dem Skript der Vorlesung Finite Elemente bei Dr.-Ing Philipp Höfer an der UniBw München.

Mit der Methode der finiten Elemente können ebenso die Eigenfrequenzen und Eigenformen eines Systems bestimmt werden. Ausgangspunkt ist die globale Bewegungsgleichung mit \left\{ R \right\} = 0:

\left[ M \right]\left\{{\ddot U} \right\}+\left[ K \right]\left\{ U \right\} = \left\{ 0 \right\}

Dies ist eine Matrixdifferentialgleichung. Als Ansatz für die globale Spaltenmatrix der Knotenfreiheitsgrade wählen wir:

\left\{ U \right\} = \left\{{\hat U} \right\}{e^{i\omega t}}\quad \Rightarrow \quad \left\{{\ddot U} \right\} = -\lambda \left\{{\hat U} \right\}{e^{i\omega t}},\quad \quad \lambda = {\omega ^2}

Einsetzen in die Bewegungsgleichung:

\left[ M \right]\left\{{\ddot U} \right\}+\left[ K \right]\left\{ U \right\} = \left\{ 0 \right\}

\Rightarrow \quad -\left[ M \right]\lambda \left\{{\hat U} \right\}{e^{i\omega t}}+\left[ K \right]\left\{{\hat U} \right\}{e^{i\omega t}} = \left\{ 0 \right\}

\Rightarrow \quad \left( {\left[ K \right]-\lambda \left[ M \right]} \right)\left\{{\hat U} \right\} = \left\{ 0 \right\}

Dies liefert ein Eigenwertproblem für die Eigenwerte {\lambda _j} und die zugeordneten Eigenvektoren \left\{{{{\hat U}_j}} \right\}.

Wir betrachten einen Kragbalken mit konstanter Längssteifigkeit EA und konstanter Massenbelegung \rho A. Es gilt die Differentialgleichung

c_L^2{u^{\prime \prime }}\left( {x,t} \right) = \ddot u\left( {x,t} \right),\quad \quad c_L^2 = \frac{E}{\rho }.

Lösung als Reihe entwickelt:

u\left( {x,t} \right) = \sum\limits_{j = 1}^\infty {\left( {{C_j}\cos \left( {\frac{{{\omega _j}}}{{{c_L}}}x} \right)+{D_j}\sin \left( {\frac{{{\omega _j}}}{{{c_L}}}x} \right)} \right)\left( {{A_j}\cos \left( {{\omega _j}t} \right)+{B_j}\sin \left( {{\omega _j}t} \right)} \right)}

Randbedingungen:

u\left( {0,t} \right) = 0,\quad N\left( {L,t} \right) = 0

Die Eigenwertgleichung führt auf die Eigenfrequenz des Balkens:

\cos \left( {\frac{{{\omega _j}}}{{{c_L}}}L} \right) = 0\quad \Rightarrow \quad {\omega _j} = \frac{1}{L}\frac{{2j-1}}{2}\pi \sqrt {\frac{E}{\rho }}