Aufgabe 1 – Analytische Lösungen für verschiedene Lastfälle

 

Bevor wir mit der Finite Elemente Berechnung beginnen, wollen wir zunächst ein paar analytische Vergleichslösungen berechnen. In Matlab zu programmierende Lastfälle:

  1. Einzellast

    einzellast-stab-finite-elemente-analytisch-vergleich
    {u_1}\left( {{x_1}} \right) = \frac{F}{{EA}}{x_1}

    {\varepsilon _{11}}\left( {{x_1}} \right) = \frac{F}{{EA}}

  2. konstante Streckenlast

    konstante-streckenlast-finite-elemente-analytisch

    {u_1}\left( {{x_1}} \right) = \frac{{{q_0}}}{{2EA}}\left( {2L{x_1}-x_1^2} \right)

    {\varepsilon _{11}}\left( {{x_1}} \right) = \frac{{{q_0}}}{{EA}}\left( {L-{x_1}} \right)

  3. linear abfallende Streckenlast

    linear-veranderliche-streckenlast-finite-elemente-analytisch

    {u_1}\left( {{x_1}} \right) = \frac{{3{q_0}}}{{2EA}}\left( {L{x_1}-x_1^2+\frac{{x_1^3}}{{3L}}} \right)

    {\varepsilon _{11}}\left( {{x_1}} \right) = \frac{{3{q_0}}}{{2EA}}\left( {L-2{x_1}+\frac{{x_1^2}}{L}} \right)

Es gilt die Beziehung {\sigma _{11}} = E{\varepsilon _{11}}. Folgendes Diagramm ist mit Matlab zu plotten:

Dabei für die x-Achse gewählt werden:

x = 0:\frac{L}{{100}}:L

Lösung

Matlab Code:


clear all;
clc;

% choose mode
mode = input(['Belastungsfall: [1] Einzellast, ' ...
        '[2] konstant, [3] linear abfallend: ']);

% user input
E = input('E-Modul E in [N / m^2], Standard 210000: ');
if isempty(E)
    E = 210000;
end

A = input('Querschnitt A in [m^2], Standard 0.01: ');
if isempty(A)
    A = 0.01;
end

L = input('Laenge L in [m], Standard 2: ');
if isempty(L)
    L = 2;
end

q = 0;

points = 100;
x = linspace(0, L, points);
u = ones(points, 1);
plotTitle = ' ';

% 1a
if mode == 1
    F = input('Kraft F in [N], Standard 1000: ');
    if isempty(F)
        F = 1000;
    end
    u = F / (E * A) .* x;
    epsilon = F / (E * A) * ones(points, 1);
    plotTitle = 'Verschiebung und Spannung bei Einzellast';
end

% 1b
if mode == 2
    q = input('konstante Last q_0 in [N/m], Standard 500: ');
    if isempty(q)
        q = 500;
    end
    u = q / (2 * E * A) * (2 * L * x - x.^2);
    epsilon = q / (E * A) * (L - x);
    plotTitle = 'Verschiebung und Spannung bei konstanter Streckenlast';
end

% 1c
if mode == 3
    q = input('Maximalwert q_0 der Last in [N/m], Standard 500: ');
    if isempty(q)
        q = 500;
    end
    u = 3 * q / (2 * E * A) * (L * x - x.^2 + x.^3 / (3 * L));
    epsilon = 3 * q / (2 * E * A) * (L - 2 * x + x.^2 / L);
    plotTitle = 'Verschiebung und Spannung bei abfallender Streckenlast';
end

sigma = E * epsilon;

figure(1);
[ax a1 a2] = plotyy(x, u, x, epsilon);
title(plotTitle);
legend('Verschiebung u', 'Spannung sigma', 'Location', 'East');
xlabel('x-Koordinate in [m]');
set(get(ax(1), 'ylabel'), 'String', 'Verschiebung in [m]');
set(get(ax(2), 'ylabel'), 'String', 'Spannung in [N/m^2]');