3.16 – Analytischer Ausdruck für die erforderliche Propellerleistung

 
  1. Geben Sie einen analytischen Ausdruck für die minimale Fluggeschwindigkeit eines Propellerflugzeugs im stationären Horizontalflug (Flughöhe H = 0) unter der Annahme an, dass der maximale Auftriebsbeiwert hierbei maßgebend ist.
  2. Leiten Sie unter Verwendung von a) einen analytischen Ausdruck für die erforderliche Propellerleistung her, der die Abhängigkeit von der Flugzeugmasse direkt erkennen lässt.
  3. Wie ändert sich die erforderliche Propellerleistung bei einer Massenabnahme um 10%

Lösung 3.16

a)

Im stationären Horizontalflug gilt:

W = F

Und für die PropellerleistungPgilt allgemein:

P = W \cdot V

Daraus folgt:

P = W \cdot V = F \cdot V = {C_W} \cdot \frac{\rho } {2} \cdot {V^3} \cdot S \Rightarrow {V^3} = \frac{{2 \cdot P}} {{\rho \cdot {C_W} \cdot S}}
{V^3} = \frac{{2 \cdot P}} {{\rho \cdot \left( {{C_{W0}}+k \cdot } \right) \cdot S}}

Mit der Polarengleichung ergibt sich weiter:

{V^3} = \frac{{2 \cdot P}} {{\rho \cdot \left( {{C_{W0}}+k \cdot {C_A}} \right) \cdot S}}

Weiterhin gilt für den stationären Horizontalflug das Kräftegleichgewicht:

m \cdot g = \frac{\rho } {2} \cdot {C_A} \cdot S \cdot {V^2} \Rightarrow {C_A} = \frac{{2 \cdot m \cdot g}} {{\rho \cdot S \cdot {V^2}}}

Eingesetzt folgt für den allgemeinen Fall:

{V^3} = \frac{{2 \cdot P}} {{\rho \cdot \left( {{C_{W0}}+k \cdot \frac{{4 \cdot {{\left( {m \cdot g} \right)}^2}}} {{{\rho ^2} \cdot {S^2} \cdot {V^4}}}} \right) \cdot S}}

Aus der Aufgabe geht jedoch hervor{C_A} = {C_{A,\max }}.

V_{min}^3 = \frac{{2 \cdot P}} {{\rho \cdot \left( {{C_{W0}}+k \cdot C_{A,\max }^2} \right) \cdot S}} \Rightarrow \underline{\underline {{V_{min}} = \sqrt[3]{{\frac{{2 \cdot P}} {{\rho \cdot S \cdot \left( {{C_{W0}}+k \cdot C_{A,\max }^2} \right)}}}}}}

b)

Für die Propellerleistung gilt allgemein:

P = W \cdot V = {C_W} \cdot \frac{\rho } {2} \cdot S \cdot {V^3}

Alle Erkenntnisse aus a) eingesetzt ergibt sich:

{P_{erf}} = W \cdot V = \left( {{C_{W0}}+k \cdot C_A^2} \right) \cdot \frac{\rho } {2} \cdot S \cdot {V^3} = \left( {{C_{W0}}+k \cdot {{\left( {\frac{{2 \cdot m \cdot g}} {{\rho \cdot S \cdot {V^2}}}} \right)}^2}} \right) \cdot \frac{\rho } {2} \cdot S \cdot {V^3}

\quad = \underline{\underline {\left( {{C_{W0}} \cdot \frac{\rho } {2} \cdot S \cdot {V^3}+\frac{{2 \cdot k \cdot {{\left( {m \cdot g} \right)}^2}}} {{V \cdot S \cdot \rho }}} \right)}}

c)

Für die neue Masse des Flugzeuges gilt:

{m_{neu}} = 0,9 \cdot m

Für die Propellerleistung gilt:

P = {C_W} \cdot \frac{\rho } {2} \cdot S \cdot {V^3} \Rightarrow 2 \cdot P = {C_W} \cdot \rho \cdot S \cdot {V^3} = \left( {{C_{W0}}+k \cdot C_{A,\max }^2} \right) \cdot \rho \cdot S \cdot {V^3}

\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad {\text{ }} = \left( {{C_{W0}}+k \cdot C_{A,\max }^2} \right) \cdot \rho \cdot S \cdot {V^3}

Aus der Bedingung:

m \cdot g = \frac{\rho } {2} \cdot {C_{A.mac}} \cdot S \cdot {V^2} \Rightarrow V = \sqrt {\frac{{2 \cdot m \cdot g}} {{{C_{A.mac}} \cdot \rho \cdot S}}} = {\left( {\frac{{2 \cdot m \cdot g}} {{{C_{A.mac}} \cdot \rho \cdot S}}} \right)^{\frac{1} {2}}}

Folgt:

P = \frac{{{{\left( {\frac{{2 \cdot m \cdot g}} {{{C_{A.mac}} \cdot \rho \cdot S}}} \right)}^{\frac{3} {2}}} \cdot \rho \cdot S \cdot \left( {{C_{W0}}+k \cdot C_{A,\max }^2} \right)}} {2}

Damit ergibt sich die Proportionalität:

P \sim {m^{\frac{3} {2}}}

Für die prozentuale Abweichung der Leistung folgt nun noch:

\frac{{{P_{neu}}-{P_{alt}}}} {{{P_{alt}}}} = \frac{{{{\left( {0,9} \right)}^{\frac{3} {2}}}-{1^{\frac{3} {2}}}}} {{{1^{\frac{3} {2}}}}}\underline{\underline { \approx -0,15 \triangleq -15\% }}

Die Leistung verringert sich also um 15%, wenn die Flugzeugmasse um 10% kleiner ist.