3.15 – Analytischer Ausdruck für die maximale Fluggeschwindigkeit

 
  1. Leiten Sie einen analytischen Ausdruck für die maximale Fluggeschwindigkeit {V_{\max }} eines Propellerflugzeugs im stationären Horizontalflug unter der Annahme her, dass der induzierte Widerstand vernachlässigt werden kann. ({C_{W,0}} = const,\quad P \ne f\left( V \right) = const, Flug findet in Bodennähe statt)
  2. Diskutieren Sie den Einfluss der Flugzeugmasse m und der Flügelfläche S auf die maximale Fluggeschwindigkeit anhand dieser Gleichung.
  3. Erläutern Sie anhand eines W,V-Diagramms die Berechtigung der Annahme, den induzierten Widerstand zu vernachlässigen.

Lösung 3.15

a)

Wenn mit maximaler Fluggeschwindigkeit geflogen wird, bedeutet dies, dass der Widerstand genauso groß ist wie die Kraft, welche der Antrieb liefert:

{F_{erf}} = W

Weiter ist bekannt, dass sich die Leistung als Kraft mal Geschwindigkeit ausdrücken lässt:

P = F \cdot V = W \cdot V

Unter Verwendung der Widerstands- und der Polarengleichung erhält man:

P = \left[ {\left( {{C_{W,0}}+k \cdot C_A^2} \right) \cdot \frac{\rho } {2}{V^2} \cdot S} \right] \cdot V

Da der induzierte Widerstand vernachlässigt werden kann, vereinfacht sich obige Gleichung:

P = {C_{W,0}} \cdot \frac{\rho } {2}{V^3} \cdot S

Umgeformt und extremal betrachtet folgt daraus:

{V_{\max }} = \sqrt[3]{{\frac{{{P_{\max }}}} {{{C_{W,0}}\frac{\rho } {2}S}}}}

b)

Da die Masse m in der obigen Gleichung nicht vorkommt, ist {V_{\max }} \ne f(m).

Für die Flügelfläche gilt folgende Proportionalität: {V_{\max }} \sim \frac{1} {{\sqrt[3]{S}}}

Es zeigt sich also, dass für die maximale Geschwindigkeit das Gewicht keine Rolle spielt. Je kleiner allerdings die Flügel sind, desto schneller kann ein Flugzeug fliegen!

c)

gesamtwiderstand-nullwiderstand-auftriebswiderstand

Da der Auftriebswiderstand (bzw. induzierte Widerstand) proportional zu \frac{1} {{{V^2}}} ist, geht dieser für hohe Geschwindigkeiten gegen 0.