15.3 – Anfangs-Randwertaufgabe, Fourierentwicklung

 

Wir betrachten die Anfangsrandwertaufgabe

{u_t}-{u_{xx}} = 0\quad x \in \left( {0,\pi } \right),\quad t > 0

u\left( {0,t} \right) = a,\quad t > 0

u\left( {\pi ,t} \right) = b\quad t > 0

u\left( {x,0} \right) = {u_0}\left( x \right)

a )

Wiederholung: Geben Sie eine Lösung für a = b = 0 an, wenn {u_0}\left( x \right) als Sinus-Fourierreihe gegeben ist.
Hinweis: Im Rahmen der Theorie der Hilberträume werden auch Entwicklungen nach einem beliebigen vollständigen Orthonormalsystem als Fourrierreihe bezeichnet.

b )

Seien nun a und b beliebige Konstanten. Beschreiben Sie, wie Sie eine Lösung zu diesem Problem finden können.

Hinweis: Sei u die Lösung von Teilaufgabe a). Betrachten Sie die Funktion v\left( {x,t} \right) = u\left( {x,t} \right)+\left({a+\frac{{b-a}}{\pi }x} \right)

Welche Differentialgleichung mit welchen Anfangs und Randwerten erfüllt v ?

Lösung

a )

mit

a = 0,\quad b = 0 \Rightarrow u\left( {x,t} \right) = \sum\limits_{k = 1}^\infty {{b_k}{e^{-{k^2}t}}\sin d\left( {kx} \right)}

(aus Vorlesung bekannt!)

b )

a \ne 0,\quad b \ne 0,\quad aber\quad konstant

v\left( {x,t} \right) = u\left( {x,t} \right)+\left( {a+\frac{{b-a}}{\pi }x} \right)

{v_t} = {u_t}

{v_x} = {u_x}+\frac{{b-a}}{\pi }

{v_{xx}} = {u_{xx}}

also

{v_t}-{v_{xx}} = 0

v\left( {0,t} \right) = u\left( {0,t} \right)+\left( {a+0} \right) = a

v\left( {\pi ,t} \right) = u\left( {\pi ,t} \right)+\left( {a+\frac{{b-a}}{\pi }\pi } \right) = a+b-a = b

{v_{x,0}} = u\left( {x,0} \right)+\left( {a+\frac{{b-a}}{\pi }x} \right) = {u_0}+a+\frac{{b-a}}{\pi }x

Löse also:

{u_t}-{u_{xx}} = 0

u\left( {0,t} \right) = u\left( {\pi ,t} \right) = 0

u\left( {x,0} \right) = {v_0}-\left( {a+\frac{{b-a}}{\pi }\pi } \right)

Dies können wir lösen.

Setze

v\left( {x,t} \right) = u\left( {x,t} \right)+\left( {a+\frac{{b-a}}{\pi }x} \right)