26 – Saitenschwingungen 5 – Anfangsbedingungen

 

Im Artikel über die Randbedingungen haben wir die Funktion für die Auslenkung der Saite auf die folgende Form gebracht:

w\left( {x,t} \right) = \sum\limits_{j = 1}^\infty  {\hat w_j \left( x \right)\left( {A_j ^* \cos \omega _j t+B_j ^* \sin \omega _j t} \right)}

Es müssen die Konstanten A* und B* berechnet werden.

Erste Ableitung nach der Zeit:

\dot w\left( {x,t} \right) = \sum\limits_{j = 1}^\infty  {\hat w_j \left( x \right)\left( {-A_j ^* \omega _j \sin \omega _j t+B_j ^* \omega _j \sin \omega _j t} \right)}

Anfangsauslenkung:

w\left( {x,t = 0} \right) = \varphi \left( x \right) = \sum\limits_{j = 1}^\infty  {A_j ^* \hat w_j \left( x \right)}

Anfangsgeschwindigkeit:

\dot w\left( {x,t = 0} \right) = \psi \left( x \right) = \sum\limits_{j = 1}^\infty  {B_j ^* \omega _j \hat w_j \left( x \right)}

Das bedeutet, die Anfangsauslenkung und die Anfangsgeschwindigkeit müssen nach den Eigenfunktionen entwickelt werden. Aus den Orthogonalitätsbeziehungen folgen die Konstanten

A_j ^*  = \frac{{\int_0^l {\varphi \left( x \right)\hat w_j \left( x \right)dx} }} {\int_0^l {\hat w_j^2 \left( x \right)dx} }

B_j ^*  = \frac{{\int_0^l {\psi \left( x \right)\hat w_j \left( x \right)dx} }} {\omega _j \int_0^l {\hat w_j^2 \left( x \right)dx} }

Wir müssen nun nur noch die unbekannten Funktionen in diesen Ausdrücken berechnen.

Gemäß

\hat w_j \left( x \right) = \sin \left( {j\pi \frac{x} {l}} \right)

gilt für die beidseitig festgehaltene Saite die Eigenfunktion

\hat w_j \left( x \right) = \sin \left( {j\pi \frac{x} {l}} \right)

Unter Berücksichtigung der Orthogonalitätsbedingung gilt weiterhin:

\int_0^l {\hat w_j^2 dx}  = \frac{l} {2}

Nun betrachten wir die Anfangsauslenkung

Die Auslenkungsfunktion ist stückweise linear, denn sie steigt in der ersten Hälfte bis zur maximalen Auslenkung und fällt danach wieder bis zum Nullpunkt ab. Die Funktion lautet (stückweise definiert):

\varphi \left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}    2f_0 \frac{x} {l}  \\    {2f_0 \left( {1-\frac{x} {l}} \right)}  \\   \end{array} } \right.\forall \begin{array}{*{20}{c}}    0 \leq x \leq \frac{l} {2}  \\    {\frac{l} {2} \leq x \leq l}  \\   \end{array}

Da die Saite festgehalten wird und sich nicht bewegt, gilt für die Anfangsgeschwindigkeit:

\psi \left( x \right) = 0

Wir setzen nun in die Gleichungen für die Berechnung der Konstanten ein:

B_j^*  = 0

A_j^*  = \frac{{\int_0^l {\varphi \left( x \right)\hat w_j \left( x \right)dx} }} {{\int_0^l {\hat w_j^2 \left( x \right)dx} }} = \frac{{\int_0^l {\varphi \left( x \right)\sin \left( {j\pi \frac{x} {l}} \right)dx} }} {{\frac{l} {2}}}

Die Berechnung des Integrals soll hier nicht weiter vertieft werden, das Ergebnis ist:

w\left( {x,t} \right) = \frac{{8f_0 }} {{\pi ^2 }}\sum\limits_{j = 1}^\infty  {\frac{1} {{j^2 }}\sin \left( {j\frac{\pi } {2}} \right)\sin \left( {j\pi \frac{x} {l}} \right)\cos \left( {j\pi \frac{{c_s }} {l}t} \right)}