Wir betrachten das Anfangswertproblem
a )
untersuchen Sie das Anfangswertproblem auf Existenz und Eindeutigkeit
b )
Berechnen Sie die Lösungen des Anfangswertproblems mit Hilfe der Trennung der Veränderlichen
c )
Berechnen Sie einen Schritt des expliziten Euler-Verfahrens für beliebige Schrittweite . Was fällt Ihnen auf?
d )
Wie ändert sich die Situation, wenn Sie das implizite Euler-Verfahren verwenden? Berechnen Sie einen Schritt unter Verwendung eines numerischen Verfahrens zum Lösen nichtlinearer Gleichungen
Lösung
a )
Die Funktion löst das Anfangswertproblem, denn es gilt:
Wir leiten nach ab:
Daraus folgt, dass in einer Umgebung von
nicht beschränkt ist. Daher ist der Satz von Picard-Lindelöf nicht anwendbar. Die Eindeutigkeit der Lösung ist nicht garantiert.
b )
Wir lösen die Differentialgleichung durch Trennung der Veränderlichen.
Substitution:
Eingesetzt:
Wegen der Anfangsbedingung scheidet die negative Lösung aus und es bleibt:
Wir setzen nun die Anfangsbedingung ein, um die Konstante zu bestimmen:
Zusätzliche Lösung:
c )
Explizites Euler-Verfahren:
Man erhält also immer die Lösung .
Dies vergleichen wir mit dem impliziten Eulerverfahren:
Nun müssten wir eine Nullstellensuche mit dem Newton-Verfahren durchführen. Alternativ könnte man die Gleichung in der bereits iterierfähigen Form auswerten: