02.1 – Anfangswertproblem, implizites Eulerverfahren

 

Wir betrachten das Anfangswertproblem

{y^\prime } = -\frac{1}{y}\sqrt {1-{y^2}} ,\quad \quad y\left( 0 \right) = 1

a )

untersuchen Sie das Anfangswertproblem auf Existenz und Eindeutigkeit

b )

Berechnen Sie die Lösungen des Anfangswertproblems mit Hilfe der Trennung der Veränderlichen

c )

Berechnen Sie einen Schritt des expliziten Euler-Verfahrens für beliebige Schrittweite h. Was fällt Ihnen auf?

d )

Wie ändert sich die Situation, wenn Sie das implizite Euler-Verfahren verwenden? Berechnen Sie einen Schritt unter Verwendung eines numerischen Verfahrens zum Lösen nichtlinearer Gleichungen

Lösung

a )

Die Funktion y \equiv 1 löst das Anfangswertproblem, denn es gilt:

{y^\prime } = {1^\prime } = 0

-\frac{1}{y}\sqrt {1-{y^2}} = 0

y\left( 0 \right) = 1

Wir leiten nach y ab:

{f_y} = \frac{1}{{{y^2}}}\sqrt {1-{y^2}} -\frac{1}{y}\frac{{-2y}}{{2\sqrt {1-{y^2}} }} = \frac{1}{{{y^2}}}\sqrt {1-{y^2}} +\frac{1}{{\sqrt {1-{y^2}} }}

Daraus folgt, dass {f_y} in einer Umgebung von y \equiv 1 nicht beschränkt ist. Daher ist der Satz von Picard-Lindelöf nicht anwendbar. Die Eindeutigkeit der Lösung ist nicht garantiert.

b )

Wir lösen die Differentialgleichung durch Trennung der Veränderlichen.

\frac{{dy}}{{dt}} = -\frac{1}{y}\sqrt {1-{y^2}}

-\int {\frac{y}{{\sqrt {1-{y^2}} }}dy} = \int {dt} ,\quad \quad y \ne 1

Substitution:

z = 1-{y^2}\quad \Rightarrow \quad \frac{{dz}}{{dy}} = -2y\quad \Rightarrow \quad dy = -\frac{{dz}}{{2y}}

Eingesetzt:

-\int {\frac{y}{{2\sqrt z }}dz} = t+c

\quad \Rightarrow \quad \sqrt z = t+c

\quad \Rightarrow \quad \sqrt {1-{y^2}} = t+c

\quad \Rightarrow \quad y = \pm \sqrt {1-{{\left( {x+c} \right)}^2}}

Wegen der Anfangsbedingung scheidet die negative Lösung aus und es bleibt:

y = \sqrt {1-{{\left( {x+c} \right)}^2}}

Wir setzen nun die Anfangsbedingung ein, um die Konstante zu bestimmen:

1 = \sqrt {1-{c^2}} \quad \Rightarrow \quad c = 0\quad \Rightarrow \quad y = \sqrt {1-{x^2}}

Zusätzliche Lösung: y = 1

c )

Explizites Euler-Verfahren:

{u_0} = 1

{u_1} = {u_0}+hf\left( {{t_0},{u_0}} \right) = 1+h\left( {-1 \cdot 0} \right) = 1

Man erhält also immer die Lösung y = 1.

Dies vergleichen wir mit dem impliziten Eulerverfahren:

{u_1} = {u_0}+hf\left( {{t_1},{u_1}} \right) = 1-\frac{\tau }{{{u_1}}}\sqrt {1-u_1^2}

Nun müssten wir eine Nullstellensuche mit dem Newton-Verfahren durchführen. Alternativ könnte man die Gleichung in der bereits iterierfähigen Form auswerten:

\Phi \left( u \right) = 1-\frac{h}{u}\sqrt {1-{u^2}}